资料简介
综合法和分析法(建议用时：40分钟)一、选择题1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.∵x>0，∴ex>1，0<<1，∴ex－>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．他使用的证明方法是( )A．综合法 B．分析法C．反证法D．以上都不是A [该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]2．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小关系是( )A．P＞Q＞RB．P＞R＞QC．Q＞P＞RD．Q＞R＞PB [先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.]3．要证－＜成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜bD [要证－＜，只需证(－)3＜()3，即证a－b－3＋3＜a－b，即证＜，只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0且b－a＞0.故选D.]5
4．下面的四个不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个C [∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，a(1－a)－＝－a2＋a－＝－≤0，(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，当ab<0时，＋≥2不成立，∴应选C.]5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是( )A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)B [∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋有解，应有m2－3m>4，5
∴m<－1或m>4，故选B.]二、填空题6．如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．AC⊥BD(答案不唯一) [要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.]7．已知sinα＋sinβ＋sinr＝0，cosα＋cosβ＋cosr＝0，则cos(α－β)的值为________．－ [由sinα＋sinβ＋sinr＝0，cosα＋cosβ＋cosr＝0，得sinα＋sinβ＝－sinr，cosα＋cosβ＝－cosr，两式分别平方，相加得2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，所以cos(α－β)＝－.]8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．≤ [∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0.∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．]三、解答题9.设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.[证明] 由已知条件得b2＝ac，2x＝a＋b,2y＝b＋c. ①要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，5
只要证2ay＋2cx＝4xy. ②由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．10.设a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：(1)c2＞ab；(2)c－＜a＜c＋.[证明] (1)∵a＞0，b＞0,2c＞a＋b≥2，∴c＞，平方得c2＞ab.(2)要证c－＜a＜c＋，只要证－＜a－c＜，即证|a－c|＜，即(a－c)2＜c2－ab，∵(a－c)2－c2＋ab＝a(a＋b－2c)＜0成立，∴原不等式成立．1．已知函数f(x)＝，a，b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤AA [≥≥，又函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f≤f()≤f.即A≤B≤C.]2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C．＋＋≥2D．abc(a＋b＋c)≤B [∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1，5
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3.]3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． [若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.]4．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是________．4 [∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.]5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．[证明] 由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C.①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝.③由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形.5
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