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微积分基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1.(ex＋2x)dx等于( )A．1 B．e－1C．eD．e＋1C [∵(ex＋2x)dx＝＝e＋1－1＝e，故选C.]2．已知积分(kx＋1)dx＝k，则实数k＝( )A．2B．－2C．1D．－1A [(kx＋1)dx＝＝k＋1＝k，∴k＝2.]3．设f(x)＝则f(x)dx＝( )A．B．C．D．D [f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋＝.]4．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx＝( )A．B．C．D．A [∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx4
＝＝.]5．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>cB．c>a>bC．a>c>bD．c>b>aA [∵a＝xdx＝＝，b＝x2dx＝＝，c＝x3dx＝＝，∴a>b>c.]二、填空题6．dθ＝________. [dθ＝cosθdθ＝sinθ＝.]7.(2－|x|)dx＝________. [因为f(x)＝2－|x|＝所以f(x)dx＝(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.]8．已知x∈(0,1]，f(x)＝(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．[0,2) [f(x)＝(1－2x＋2t)dt＝(t－2xt＋t2)＝－2x＋2(x∈(0,1])．∴f(x)的值域为[0,2)．]三、解答题9．计算定积分：(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.[解] 设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，则f(x)＝所以(|2x＋3|＋|3－2x|)dx4
＝(－4x)dx＋6dx＋4xdx＝－2x2＋6x＋2x2＝－2×＋6×＋2×＝45.10．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．[解] 因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且＝ax2＋c，所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去)．即x0的值为.1．若y＝(sint＋cost·sint)dt，则y的最大值是( )A．1B．2C．－1D．0B [y＝(sint＋cost·sint)dt＝sintdt＋dt＝－cost－cos2t＝－cosx＋1－(cos2x－1)＝－cos2x－cosx＋＝－cos2x－cosx＋＝－(cosx＋1)2＋2≤2.]2．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于( )A．－1B．－C．D．1B [∵f(x)dx是常数，4
所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，所以c＝2f(x)dx＝2(x2＋c)dx＝2，解得c＝－，f(x)dx＝(x2＋c)dx＝dx＝＝－.]3．设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于____________. [由得x＝±1.如图，由对称性可知，S＝2＝2＝.]4．已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.1 [因为f(1)＝lg1＝0，且3t2dt＝t3＝a3－03＝a3，所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.]5．已知f(x)＝(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．[解] 因为f(x)＝(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，因为F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx＝(2x3＋2ax2＋a2x)＝2·13＋2a·12＋a2·1＝(a＋1)2＋1≥1.所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.4
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