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微专题3圆锥曲线中的探索性与开放性问题基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)

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微专题3圆锥曲线中的探索性与开放性问题1.(2021江苏宿迁高二期末)已知过点A(a,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于M,N两点,若有且仅有一个实数a,使得OM&sdot;ON=-16成立,则p的值为()A.-4B.2C.4D.8答案:C解析:设直线MN的方程为x=ty+a,M(x1,y1),N(x2,y2),联立得x=ty+a,y2=2px,整理得y2-2pty-2pa=0,所以y1+y2=2pt,y1y2=-2pa,所以x1x2=(ty1+a)(ty2+a)=t2y1y2+at(y1+y2)+a2=t2&sdot;(-2pa)+at&sdot;2pt+a2,因为OM&sdot;ON=-16,所以x1x2+y1y2=t2(-2pa)+at&sdot;2pt+a2-2pa=-16,所以a2-2pa+16=0,因为有且仅有一个实数a,使得OM&sdot;ON=-16成立,所以&Delta;=(-2p)2-64=0,解得p=4或p=-4(舍去).2.已知双曲线C过点(3,2),且渐近线方程为y=&plusmn;33x,则下列结论中正确的个数为()①双曲线C的实轴长为23;②双曲线C的离心率为233;③曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点;④直线x-2y-1=0与双曲线C有两个公共点.A.1B.2C.3D.4答案:C解析:根据题意设双曲线C的方程为x23-y2=&lambda;,将(3,2)代入双曲线C的方程得&lambda;=323-(2)2=1,所以双曲线C的方程为x23-y2=1.双曲线C的实轴长为23,所以①中结论正确;双曲线C的离心率为3+13=233,所以②中结论正确;令y=ex-2-1=0,得x=2,所以曲线y=ex-2-1经过双曲线C的右焦点(2,0),所以③中结论正确;8,联立得x-2y-1=0,x23-y2=1,消去x得y2-22y+2=0,所以&Delta;=8-4&times;2=0,故直线x-2y-1=0与双曲线C只有一个公共点,所以④中结论错误.故选C.3.已知F为抛物线C:x2=2py(1<p<2)的焦点,F关于原点对称的点为F&#39;,点M在抛物线C上,则下列结论中正确的个数为()①使得△MFF&#39;为等腰三角形的点M有且仅有6个;②使得|MF&#39;|+|MF|=1的点M有且仅有2个;③使得|MF&#39;|=2|MF|的点M有且仅有4个.A.0B.1C.2D.3答案:A解析:△MFF&#39;为等腰三角形,若|MF|=|FF&#39;|,则这样的点M有两个,若|MF&#39;|=|FF&#39;|,则这样的点M有两个,满足|MF|=|MF&#39;|的点M有一个但不能构成三角形,故点M只有4个,①中结论错误;|FF&#39;|=p,|MF|+|MF&#39;|&ge;|FF&#39;|=p,又1<p<2,所以满足|mf'|+|mf|=1的点m不存在,②中结论错误;如图,作mn垂直于抛物线的准线(准线显然过点f'),垂足为n,则|mf|=|mn|,若|mf'|=2|mf|,则|mf'|=2|mn|,所以∠mf'n=45∘,又f'(0,-p2),所以直线mf'的方程为y=-x-p2,代入抛物线的方程整理得x2+2px+p2=0,解得x1=x2=-p,此方程有两个相等的实数根,即直线mf'与抛物线只有一个公共点,根据对称性得满足|mf'|=2|mf|的点m有两个,③中结论错误.4.(2021天津西青高二期末)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点a(2,0),离心率为32.(1)求椭圆c的方程;(2)已知定点e(1,0),若直线y=kx-2(k≠0)与椭圆c交于m、n两点,则是否存在实数k,使以线段mn为直径的圆过定点e?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.8,答案:(1)由题意得a2=b2+c2,ca=32,a=2,解得a2=4,b2=1,c2=3,所以椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)假设存在实数k,使以线段mn为直径的圆过定点e,设m(x1,y1),n(x2,y2),联立得y=kx-2,x24+y2=1,整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0,所以δ=(-16k)2-4×12×(1+4k2),x1+x2=16k1+4k2,x1⋅x2=121+4k2,若以mn为直径的圆过定点e,则em⊥en,所以em⋅en=(x1-1,y1)⋅(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-(2k+1)⋅(x1+x2)+5=0,所以(1+k2)×121+4k2-(2k+1)×16k1+4k2+5=0,解得k=1716,满足δ>0,故存在实数k,使以线段mn为直径的圆过定点e,此时k=1716.5.(2020河北秦皇岛卢龙一中高二期末)已知点f1,f2是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点p是该椭圆上一点,当∠f1pf2=π3时,△pf1f2的面积取得最大值,为3,o为坐标原点.(1)求椭圆c的标准方程;(2)是否存在过左焦点f1的直线l,与椭圆c交于a,b两点,使得△oab的面积为1213?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.答案:(1)当点p在短轴的端点时,△pf1f2的面积取得最大值,所以bc=3,此时∠f1pf2=π3,∠opf1=π6,所以b=3c,又a2=b2+c2,所以a=2,c=1,b=3,所以椭圆c的标准方程为x24+y23=1.(2)假设存在直线l满足题意.由(1)知f1(-1,0),易知直线l与x轴不重合,设l的方程为x=my-1,8,代入椭圆c的方程得(3 m2="">23=|AB|,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,所以2a=4,2c=|AB|=23,故a=2,c=3,b=1,所以所求的轨迹方程为x24+y2=1.选③,设P(x,y),S(x&#39;,0),T(0,y&#39;),则x&#39;+y&#39;2=3(*),因为OP=23OS+13OT,所以x=23x&#39;,y=13y&#39;,整理得x&#39;=32x,y&#39;=3y,代入(*)得x24+y2=1,所以所求的轨迹方程为x24+y2=1.(2)设Q(0,y0),当l&#39;的斜率不存在时,y0=0,符合题意;当l&#39;的斜率存在时,设直线l&#39;的方程为y=k(x-1)(k&ne;0),M(x1,y1),N(x2,y2),联立得y=k(x-1),x24+y2=1,消去y得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,8,所以&Delta;>0,x1+x2=8k21+4k2,设线段MN的中点为G(x3,y3),则x3=x1+x22=4k21+4k2,y3=k(x3-1)=-k1+4k2,所以线段MN的垂直平分线的方程为y+k1+4k2=-1k(x-4k21+4k2),把(0,y0)代入得y0=3k1+4k2=31k+4k,当k<0时,1k+4k&le;-4,当且仅当k=-12时,取等号,所以-34&le;y0<0;当k>0时,1k+4k&ge;4,当且仅当k=12时,取等号,所以0</p<2,所以满足|mf'|+|mf|=1的点m不存在,②中结论错误;如图,作mn垂直于抛物线的准线(准线显然过点f'),垂足为n,则|mf|=|mn|,若|mf'|=2|mf|,则|mf'|=2|mn|,所以∠mf'n=45∘,又f'(0,-p2),所以直线mf'的方程为y=-x-p2,代入抛物线的方程整理得x2+2px+p2=0,解得x1=x2=-p,此方程有两个相等的实数根,即直线mf'与抛物线只有一个公共点,根据对称性得满足|mf'|=2|mf|的点m有两个,③中结论错误.4.(2021天津西青高二期末)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点a(2,0),离心率为32.(1)求椭圆c的方程;(2)已知定点e(1,0),若直线y=kx-2(k≠0)与椭圆c交于m、n两点,则是否存在实数k,使以线段mn为直径的圆过定点e?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.8,答案:(1)由题意得a2=b2+c2,ca=32,a=2,解得a2=4,b2=1,c2=3,所以椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)假设存在实数k,使以线段mn为直径的圆过定点e,设m(x1,y1),n(x2,y2),联立得y=kx-2,x24+y2=1,整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0,所以δ=(-16k)2-4×12×(1+4k2),x1+x2=16k1+4k2,x1⋅x2=121+4k2,若以mn为直径的圆过定点e,则em⊥en,所以em⋅en=(x1-1,y1)⋅(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-(2k+1)⋅(x1+x2)+5=0,所以(1+k2)×121+4k2-(2k+1)×16k1+4k2+5=0,解得k=1716,满足δ>0,故存在实数k,使以线段mn为直径的圆过定点e,此时k=1716.5.(2020河北秦皇岛卢龙一中高二期末)已知点f1,f2是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点p是该椭圆上一点,当∠f1pf2=π3时,△pf1f2的面积取得最大值,为3,o为坐标原点.(1)求椭圆c的标准方程;(2)是否存在过左焦点f1的直线l,与椭圆c交于a,b两点,使得△oab的面积为1213?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.答案:(1)当点p在短轴的端点时,△pf1f2的面积取得最大值,所以bc=3,此时∠f1pf2=π3,∠opf1=π6,所以b=3c,又a2=b2+c2,所以a=2,c=1,b=3,所以椭圆c的标准方程为x24+y23=1.(2)假设存在直线l满足题意.由(1)知f1(-1,0),易知直线l与x轴不重合,设l的方程为x=my-1,8,代入椭圆c的方程得(3> 查看更多

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