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第一章空间向量与立体几何4.1第1课时空间中点直线和平面的向量表示基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)

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空间中点、直线和平面的向量表示1.(2021辽宁六校协作体高二期中联考)已知平面α上的三点A(3,2,1),B(-1,2,0),C(4,-2,-1),则平面α的一个法向量为()A.(4,-9,-16)B.(4,9,-16)C.(-16,9,4)D.(16,9,-4)答案:B解析:由已知得AB=(-4,0,-1),AC=(1,-4,-2),设平面α的法向量为n=(x,y,z),则n⋅AB=0,n⋅AC=0,即-4x-z=0x-4y-2z=0,取x=4,可得z=-16,y=9,所以平面α的一个法向量为n=(4,9,-16).2.给出下列说法:①一个平面的法向量是唯一的;②一个平面的所有法向量都是同向的;③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的;④与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量.其中正确的说法是.答案:③④解析:一个平面的法向量有无数个,故①中说法错误;一个平面的所有法向量不一定相同,故②中说法错误;易知③、④中说法正确.3.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),求平面α的一个法向量.答案:易知AB=(2,1,1),AC=(3,-1,-1),设平面α的法向量为n=(x,y,z),则n⋅AB=2x+y+z=0,n⋅AC=3x-y-z=0,令z=-1,则y=1,x=0,∴n=(0,1,-1)∴平面α的一个法向量为n=(0,1,-1).素养演练直观想象、数学运算、逻辑推理——在关于法向量的探索性问题中的应用已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,AD=2,点M、N在线段PB、DC上(不含端点),且满足BM=λMP,DN=λNC,其中λ>0.8 (1)若λ=1,求平面PBD的一个法向量;(2)是否存在λ,使MN是平面PAB的法向量?请说明理由.答案:(1)建立空间直角坐标系,当λ=1时,M,N分别为PB,DC的中点,因为A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,2,0),C(1,2,0),所以M(12,0,12),N(12,2,0),PD=(0,2,-1),BD=(-1,2,0),设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),则n⋅PD=2y-z=0,n⋅BD=-x+2y=0,令y=1,则x=z=2,所以n=(2,1,2),所以平面PBD的一个法向量为n=(2,1,2).(2)假设存在λ,因为BM=λMP,DN=λNC,所以M(1λ+1,0,λλ+1),N(λλ+1,2,0),所以MN=(λ-1λ+1,2,-λλ+1),易知PB=(1,0,-1),AB=(1,0,0),若MN是平面PAB的法向量,则MN⋅PB=0,MN⋅AB=0,即2λ-1λ+1=0,λ-1λ+1=0,此方程组无解,即假设不成立,所以不存在λ,使MN是平面PAB的法向量.素养探究:(1)由题意建立空间直角坐标系,渗透了直观想象的素养;设出平面PBD的法向量,根据法向量的定义,建立方程组求解,渗透了数学运算的素养.(2)假设存在λ,使MN是平面PAB的法向量,然后根据平面法向量的定义建立方程组求解,渗透了逻辑推理、数学运算的素养.迁移应用8 在三棱锥S-ABC中,底面是边长为23的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45∘角.(1)在侧棱SA上是否存在一点D,使BD是平面SAC的法向量?请说明理由;(2)求平面ACS的一个法向量.答案:连接OA,由题意可知SO⊥底面ABC,且OA⊥BC,所以以O为原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系.因为△ABC是边长为23的正三角形,且SA与底面所成的角为45∘,所以∠SAO=45∘,SO=AO=3,所以O(0,0,0),C(3,0,0),A(0,3,0),S(0,0,3),B(-3,0,0).(1)假设存在点D,设AD=a,则D(0,3-22a,22a),所以BD=(3,3-22a,22a),易知AC=(3,-3,0),AS=(0,-3,3),若BD是平面SAC的法向量,则BD⋅AC=3-3(3-22a)=0,BD⋅AS=-3(3-22a)+322a=0,,此方程组无解,所以在侧棱SA上不存在一点D,使BD是平面SAC的法向量.(2)由(1)知AS=(0,-3,3),AC=(3,-3,0),设平面ACS的法向量为n=(x,y,z),则n⋅AC=3x-3y=0,n⋅AS=-3y+3z=0,令z=1,则x=3,y=1,所以n=(3,1,1),所以平面ACS的一个法向量为n=(3,1,1).8 课时评价作业基础达标练1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)答案:A2.设A是空间中一定点,n为空间内任一非零向量,则满足条件AM⋅n=0的点M构成的是()A.圆B.直线C.平面D.线段答案:C3.(2020湖南张家界高二期末)已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z=()A.0B.1C.32D.3答案:A4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ACB1的一个法向量为()A.BD1B.DBC.BA1D.BA答案:A5.平面α经过三点O(0,0,0),A(2,2,0),B(0,0,2),则平面α的法向量可以是()A.(1,0,1)B.(1,0,-1)C.(0,1,1)D.(-1,1,0)答案:D6.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论正确的是()A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,-1,-1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)答案:ABC8 7.若A(0,2,198),B(1,-1,58),C(-2,1,58)是平面α内的三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x:y:z=.答案:2:3:(-4)素养提升练8.(多选题)已知空间中的三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法不正确的是()A.AC不是直线AB的一个方向向量B.直线AB的一个单位方向向量是(255,-55,0)C.AB与BC夹角的余弦值是5511D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)答案:BC解析:易知AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以不存在实数λ,使得AB=λAC,故A中说法正确;因为AB=(2,1,0),所以(255,-55,0)与AB不共线,所以B中说法错误;易知BC=(-3,1,1),所以cos<AB,BC>=AB⋅BC|AB||BC|=-5511,所以C中说法错误;设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),则n⋅AB=0,n⋅BC=0,即2x+y=0,-x+2y+z=0,令x=1,则平面ABC的一个法向量是n=(1,-2,5),所以D中说法正确.9.(2020河南平顶山高二期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,E,F分别在棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是()A.(1,-1,3)B.(1,-1,-3)C.(2,-3,6)D.(-2,3,-6)答案:A解析:设正方体的棱长为1,平面AEF的法向量为n=(x,y,z),8 则A(1,0,0),E(1,1,13),F(0,1,23),所以AE=(0,1,13),EF=(-1,0,13),则n⋅AE=0,n⋅EF=0,即y+13z=0,-x+13z=0,取x=1,则y=-1,z=3,故n=(1,-1,3).10.(多选题)(2021福建泉州高二期中)已知平面α过点A(1,-1,2),且其法向量n=(2,-1,2),则下列点中不在平面α内的是()A.(2,3,3)B.(3,-3,4)C.(-1,2,0)D.(-2,-3,4)答案:BC解析:对于A,设Q(2,3,3),则AQ=(1,4,1),所以AQ⋅n=1×2+4×(-1)+1×2=0,故Q在平面α内;对于B,设R(3,-3,4),则AR=(2,-2,2),所以AR⋅n=2×2+(-2)×(-1)+2×2=10≠0,故R不在平面α内;对于C,设M(-1,2,0),则AM=(-2,3,-2),所以AM⋅n=-2×2+3×(-1)+(-2)×2=-11≠0,故M不在平面α内;对于D,设N(-2,-3,4),则AN=(-3,-2,2),所以AN⋅n=-3×2+(-2)×(-1)+2×2=-6+2+4=0,故N在平面α内.11.(2021山东济宁鱼台一中高二月考)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面的中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2,则平面OCB1的一个法向量为n=.答案:(1,0,-1)(答案不唯一)解析:建立空间直角坐标系如图,∵四边形ABCD是正方形,且AB=2,∴AO=OC=1,∵A1O⊥平面ABCD,且AO⊂平面ABCD,∴AO⊥A1O,∴OA1=AA12-OA2=1,8 ∴O(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),即OC=(0,1,0),OB1=(1,1,1),设向量n=(x,y,z)是平面OCB1的法向量,∴OC⋅n=y=0,OB1⋅n=x+y+z=0,取x=1,则z=-1,故n=(1,0,-1).创新拓展练12.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).(1)写出直线BD的一个方向向量;(2)求证:AP是平面ABCD的法向量;(3)求平行四边形ABCD的面积.命题分析本题考查了直线的方向向量的求解、平面法向量的证明、平行四边形面积的求法,考查了向量坐标的运算、法向量的定义等基础知识,考查了运算求解能力、逻辑推理能力.答题要领(1)直线BD的一个方向向量是与BD平行或共线的向量,可根据向量的线性运算求解.(2)由题意结合空间向量的数量积计算可得AP⋅AB=0,AP⋅AD=0,即可得结论.(3)利用平面向量的坐标运算可得|AB|=21,|AD|=25,AB⋅AD=6,进而可得sin⟨AB,AD>,然后利用公式S▱ABCD=|AB|⋅|AD|sin<AB,AD>求解.详细解析(1)BD=AD-AB=(4,2,0)-(2,-1,-4)=(2,3,4),故直线BD的一个方向向量可以是(2,3,4).(2)证明:∵AP⋅AB=(-1,2,-1)⋅(2,-1,-4)=0,,AP⋅AD=(-1,2,-1)⋅(4,2,0)=0,∴AP⊥AB,AP⊥AD,又AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,∴AP⊥平面ABCD,∴AP是平面ABCD的法向量.(3)∵|AB|=22+(-1)2+(-4)2=21,|AD|=42+22+02=25,AB⋅AD=(2,-1,-4)⋅(4,2,0)=6,∴cos<AB,AD>=621×25=10535,故sin<AB,AD>=3235,∴S▱ABCD=|AB|⋅|AD|sin<AB,AD>=86.8 解题感悟直线的方向向量是与该直线平行或共线的向量,可根据向量线性运算和坐标运算求解;法向量的判定或证明,要根据法向量的定义判断;面积的求解,常根据图形的形状结合三角形的面积公式求解.在求解过程中,准确运算是关键.8 查看更多

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