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空间向量基本定理基础过关练题组一 空间向量基本定理及相关概念的理解1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有(深度解析)A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知空间四个点O、A、B、C,{OA,OB,OC}为空间的一个基底,则下列说法正确的是( )A.O,A,B,C四点共线B.O,A,B,C四点共面,但不共线C.O,A,B,C四点不共面D.|OA|=|OB|=|OC|=13.(2021山东济宁高二上检测)已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,则不能与a,b共同构成空间向量的一个基底的向量是( )A.OAB.OBC.OCD.以上都不能题组二 空间向量基本定理的应用—用空间的基底表示空间向量4.在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,则A1D=( )A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.12a+12b-12cD.-12a+12b+12c5.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量OA=a,OB=b,OC=c,则OP=( ) 7
A.16a+16b+16cB.13a+13b+13cC.16a+13b+13cD.13a+16b+16c6.(2020湖北宜昌高二下期末)在正四面体PABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若MN=xPA+yPB+zPC,则x+y+z的值为 . 题组三 利用空间向量基本定理解决几何问题7.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)如图,已知ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,底面ABCD是正方形,AA1=3,AB=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°,设CD=a,CB=b,CC1=c.(1)试用a,b,c表示A1C;(2)已知O为体对角线A1C的中点,求CO的长.能力提升练题组一 利用空间向量基本定理证明平行和垂直 1.(多选)()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则与直线CE不垂直的有( )A.ACB.BDC.A1DD.A1A2.(2020山东烟台高二上期末,)如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1,若BD⊥AN,则λ的值为 ;若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为 . 3.(2021辽宁大连高二上检测,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EFG∥平面ABD.7
题组二 利用空间向量基本定理求线段长度和异面直线所成角3.(2021山东济宁实验中学高二上月考,)在一平面直角坐标系中,已知A(-1,6),B(2,-6),现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为( )A.B.C.D.5.(多选)()如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( )A.AC1=66B.AC1⊥DBC.向量B1C与AA1的夹角是60°D.BD1与AC所成角的余弦值为636.(2020浙江杭州学军中学高二上期中,)棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是 ,线段EF的长度为 . 7.(原创)()化学中,将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点).则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为 . 7
答案全解全析基础过关练1.C 结合长方体,如图,可知向量a,b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共面,x,y,a+b+c也不共面,故选C.方法归纳 判断给出的某一个向量组中的三个向量能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.2.C ∵{OA,OB,OC}为空间的一个基底,∴OA,OB,OC三个向量不共面,即O、A、B、C四点不共面.OA、OB、OC不一定为单位向量,故选C.3.C ∵OC=12(OA+OB+OC)-12(OA+OB-OC)=12(a-b),∴OC与a,b共面,∴OC不能与a,b共同构成空间向量的一个基底.易知OA,OB均能与a,b共同构成空间向量的一个基底.故选C.4.D A1D=12(A1B+A1C1)=12(A1A+A1B1+A1C1)=-12a+12b+12c,故选D.5.C OP=23ON+13OM=23×12(OB+OC)+13×12OA=13b+13c+16a,故选C.6.答案 13解析 如图所示,连接PN,AN,MN=MP+PN=-23PA+12(PB+PC)=-23PA+12PB+12PC,∴x=-23,y=12,z=12.∴x+y+z=13.7.解析 (1)A1C=A1A+AD+DC=-AA1+BC-CD=-CC1-CB-CD=-c-b-a.(2)由题意知,|a|=2,|b|=2,|c|=3,7
a·b=0,a·c=2×3×12=3,a·b=2×3×12=3,∵CO=12CA1=12(a+b+c),∴|CO|=14(a+b+c)2=14(a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c)=14×(22+22+32+0+2×3+2×3)=292.能力提升练1.ACD CE=AE-AC=AA1+A1E-AB-AD=AA1-12AB-12AD,AC=AB+AD,BD=AD-AB,A1D=AD-AA1,∴CE·AC=-12AB2-12AD2≠0,CE·BD=12AB2-12AD2=0,CE·A1D=-AA12-12AD2≠0,CE·AA1=AA12≠0,∴与CE不垂直的有AC、A1D、A1A.故选ACD.2.答案 3-1;23解析 取空间中的一个基底:AB=a,AD=b,AA1=c.若BD⊥AN,则BD·AN=0.∵BD=AD-AB=b-a,AN=AA1+A1N=c+λb,∴(b-a)·(c+λb)=0,∴12+λ-32-λ2=0,∴λ=3-1.当M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N时,BM=-a+b+12c,AN=λb+c,AB1=a+c.∵BM∥平面AB1N,∴向量BM,AN,AB1共面,∴∃x,y∈R,使得BM=xAN+yAB1,即-a+b+12c=ya+xλb+(x+y)c,∴-1=y,1=xλ,12=x+y,解得λ=23.3.证明 (1)易得B1D=B1C1+C1D=B1C1+12B1B,BD=BC+CD=B1C1-12B1B,∵B1D·BA=B1C1+12B1B·B1A1=0,B1D·BD=B1C1+12B1B·B1C1-12B1B=B1C12-14B1B2=0,∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.7
(2)连接B1G.∵EG=B1G-B1E=12(B1C1+B1A1)-14B1B,FG=B1G-B1F=12(B1A1+B1C1)-12B1C1=12B1A1,∴B1D·EG=(B1C1+12B1B)·12B1C1+12B1A1-14B1B=12B1C12-18B1B2=0,B1D·FG=B1C1+12B1B·12B1A1=0,∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,又EG∩FG=G,∴B1D⊥平面EFG,又B1D⊥平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面ABD.4.D 已知在平面直角坐标系中A(-1,6),B(2,-6),作AC⊥x轴,交x轴于C点,作BD⊥x轴,交x轴于D点,如图(1),沿x轴将坐标平面折成60°的二面角,如图(2),易得|AC|=6,|CD|=3,|DB|=6,AC⊥CD,CD⊥DB,AC,DB的夹角为120°,所以AB=AC+CD+DB,图(1)图(2)所以|AB|2=|AC|2+|CD|2+|DB|2+2AC·CD+2CD·DB+2AC·DB=62+32+62-2×6×6×12=45,∴|AB|=35,即折叠后A,B两点间的距离为35.故选D.5.AB 因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,所以AA1·AB=AA1·AD=AD·AB=6×6×cos60°=18,(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AB·AD+2AA1·AD7
=36+36+36+3×2×18=216,则|AC1|=|AA1+AB+AD|=66,所以A正确;AC1·DB=(AA1+AB+AD)·(AB-AD)=AA1·AB-AA1·AD+AB2-AB·AD+AD·AB-AD2=0,所以B正确;显然△AA1D为等边三角形,则∠AA1D=60°.因为B1C=A1D,且向量A1D与AA1的夹角是120°,所以B1C与AA1的夹角是120°,所以C不正确;因为BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD,所以|BD1|=(AD+AA1-AB)2=62,|AC|=(AB+AD)2=63,BD1·AC=(AD+AA1-AB)·(AB+AD)=36,所以cos<BD1,AC>=BD1·AC|BD1|·|AC|=3662×63=66,所以D不正确.故选AB.6.答案 π4;22a解析 设AB=a,AC=b,AD=c,则{a,b,c}是空间的一个基底,∴|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=12a2.∵EF=AF-AE=12(a+b)-12c,∴EF·AB=12a2+12a·b-12a·c=12a2,|EF|=12a+12b-12c2=22a,∴cos<EF,AB>=EF·AB|EF||AB|=12a222a×a=22,∴异面直线EF与AB所成的角为π4.7.答案 15解析 设该立方体的棱长为a,取{A1B1,A1D1,A1A}为空间向量的一个基底,其中<A1B1,A1D1>=90°,<A1B1,A1A>=90°,<A1A,A1D1>=90°.∵BF=AF-AB=12AD-AB=12A1D1-A1B1,B1E=B1B+BE=A1A+12A1D1,设BF与B1E所成角为θ,则cosθ=|cos<BF,B1E>|=|BF·B1E||BF||B1E|=14A1D1214A1D12+A1B12×14A1D12+A1A2=14a254a2=15,∴BF与B1E所成角的余弦值为15.7
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