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第一章空间向量与立体几何1.2空间向量的数量积运算基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)

资料简介

空间向量的数量积运算1.(多选题)已知四边形ABCD为矩形,PA&perp;平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是()A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ACD.PA与CD答案:BD2.(2021北京海淀高二期末)已知四面体ABCD的棱长都是2,点E是AD的中点,则BA&sdot;CE=()A.1B.-1C.3D.-3答案:A3.(2020四川雅安中学高二月考)若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形,则cos<oa,bc>的值为()a.12b.22c.-12d.0答案:d4.(多选题)设a、b为空间中的任意两个非零向量,则下列各式正确的是()a.a2=|a|2b.a⋅ba2=bac.(a⋅b)2=a2⋅b2d.(a-b)2=a2-2a⋅b+b2答案:ad5.已知在平行六面体abcd-a'b'c'd'中,ab=3,ad=4,aa'=5,∠bad=120∘,∠baa'=60∘,∠daa'=90∘,则ac'的长为()a.52b.53c.58d.53答案:d6.已知在空间四边形abcd中,∠acd=∠bdc=90∘,且ab=2,cd=1,则cd在ab上的投影向量是()a.14abb.12abc.14d.12答案:a6,7.已知在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,上底面a1b1c1d1的中心为o1,则ao1⋅ac的值为()a.-1b.0c.1d.2答案:c8.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e为d1c1的中点,则向量a1c1在向量de上的投影向量是()a.1010deb.105dec.55ded.25de答案:d解析:设正方体的棱长为1,ab=a,ad=b,aa1=c,则|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=b⋅c=c⋅a=0.∵a1c1=ac=ab+ad=a+b,de=dd1+d1e=dd1+12d1c1=c+12a,∴a1c1⋅de=(a+b)⋅(c+12a)=a⋅c+b⋅c+12a2+12a⋅b=12a2=12,|de|=12+(12)2=52,∴向量a1c1在向量de上的投影向量是|a1c1|cos<a1c1,de>DE|DE|=25DE.9.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的有()A.四边形ABC1D1的面积为|AB||BC1|B.AD1与A1B的夹角为60∘C.(AA1+A1D1+A1B1)2=3A1B12D.A1C&sdot;(A1B1-A1D1)=0答案:ACD10.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,&ang;A1AB=&ang;A1AD=60∘,则AD1&sdot;AC=;|AC1|=.6,答案:3;10素养提升练11.已知MN是正方体的内切球的一条直径,点P在正方体的表面上运动,正方体的棱长是2,则PM&sdot;PN的取值范围为()A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]答案:B解析:设正方体的内切球的球心为O,则OM=ON=1,PM&sdot;PN=(PO+OM)&sdot;(PO+ON)=PO2+PO&sdot;(OM+ON)+OM&sdot;ON,∵MN为该正方体的内切球的一条直径,&there4;OM+ON=0,OM&sdot;ON=-1,&there4;PM&sdot;PN=PO2-1.又P在正方体的表面上运动,&there4;当P为正方体的顶点时,|PO|最大,最大值为3;当P为内切球与正方体的切点时,|PO|最小,最小值为1,&there4;PO2-1&isin;[0,2],即PM&sdot;PN的取值范围为[0,2].12.在平行四边形ABCD中,&ang;A=60∘,AB=2,AD=1,若M、N分别是BC、CD上的点,且满足|BM||BC|=|CN||CD|,则AM&sdot;AN的取值范围是()A.[1,3]B.[1,5]C.[2,4]D.[2,5]答案:D解析:设|BM||BC|=|CN||CD|=&lambda;,&lambda;&isin;[0,1],AM&sdot;AN=(AB+BM)&sdot;(AD+DN)=(AB+&lambda;AD)&sdot;[AD+(1-&lambda;)AB]=(1-&lambda;)AB2+&lambda;AD2+(1+&lambda;-&lambda;2)AB&sdot;AD=4(1-&lambda;)+&lambda;+(1+&lambda;-&lambda;2)&times;12&times;2&times;1=-&lambda;2-2&lambda;+5,由二次函数的性质易知AM&sdot;AN&isin;[2,5].13.如图,四个棱长均为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,&hellip;,8)是上底面其余的八个点,则集合{y|y=AB&sdot;APi,i=1,2,3,&hellip;,8}中的元素个数为()6,A.1B.2C.4D.8答案:A解析:由题图可知,APi=AB+BPi,则AB&sdot;APi=AB&sdot;(AB+BPi)=AB2+AB&sdot;BPi,因为AB&perp;BPi,所以AB&sdot;BPi=0,又正方体的棱长均为1,所以AB&sdot;APi=AB2+AB&sdot;BPi=1+0=1,故集合{y|y=AB&sdot;APi,i=1,2,3,&hellip;,8}中的元素个数为1,故选A.14.已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则|BD|=()A.102B.62C.52D.2答案:A解析:过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,易得AM=12,BM=32,CN=12,DN=32,MN=1.因为BD=BM+MN+ND,所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+2(BM&sdot;MN+MN&sdot;ND+BM&sdot;ND)=(32)2+12+(32)2+2&times;(0+0+0)=52,所以|BD|=102.15.如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3,若AB&sdot;AE+AC&sdot;AF=7,则EF与BC夹角的余弦值等于.答案:166,解析:由题意可得BC2=9=(AC-AB)2=AC2+AB2-2AC&sdot;AB=9+4-2AC&sdot;AB,&there4;AC&sdot;AB=2.AB&sdot;AE+AC&sdot;AF=7可得AB&sdot;(AB+BE)+AC&sdot;(AB+BF)=AB2+AB&sdot;BE+AC&sdot;AB+AC&sdot;BF=4+AB&sdot;(-BF)+2+AC&sdot;BF=6+BF&sdot;(AC-AB)=6+12EF&sdot;BC=7.&there4;EF&sdot;BC=2,即4&times;3&times;cos<EF,BC>=2,&there4;cos<EF,BC>=16.创新拓展练16.(2021山东济宁实验中学高二期中)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,&ang;A1AB=&ang;A1AD=&ang;BAD=60∘,AB=AD=AA1=1.(1)求A1C的长;(2)求证:A1C&perp;BD.命题分析本题考查了利用空间向量求线段的长度,考查了利用空间向量证明线线垂直,渗透了数学运算、逻辑推理的素养.答题要领(1)先设AB=a,AD=b,AA1=c,得到A1C=a+b-c,再平方即可得到答案.(2)根据第一问得到BD=b-a,计算A1C&sdot;BD=0,从而得到A1C&perp;BD.详细解析(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,则A1C=a+b-c.因为&ang;A1AB=&ang;A1AD=&ang;BAD=60∘,AB=AD=AA1=1,所以a2=b2=c2=1,a&sdot;b=a&sdot;c=b&sdot;c=1&times;1&times;cos&thinsp;60∘=12,所以|A1C|2=A1C2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2a&sdot;b-2a&sdot;c-2b&sdot;c=1+1+1+1-1-1=2,故A1C=2.(2)证明:由(1)可知BD=b-a,所以A1C&sdot;BD=(a+b-c)(b-a)=a&sdot;b-a2+b2-a&sdot;b-b&sdot;c+a&sdot;c=0,6,即A1C&perp;BD.解题感悟长方体、四面体、平行六面体等是研究空间向量的常见几何体,要熟悉其结构特点,善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件.6</oa,bc>的值为()a.12b.22c.-12d.0答案:d4.(多选题)设a、b为空间中的任意两个非零向量,则下列各式正确的是()a.a2=|a|2b.a⋅ba2=bac.(a⋅b)2=a2⋅b2d.(a-b)2=a2-2a⋅b+b2答案:ad5.已知在平行六面体abcd-a'b'c'd'中,ab=3,ad=4,aa'=5,∠bad=120∘,∠baa'=60∘,∠daa'=90∘,则ac'的长为()a.52b.53c.58d.53答案:d6.已知在空间四边形abcd中,∠acd=∠bdc=90∘,且ab=2,cd=1,则cd在ab上的投影向量是()a.14abb.12abc.14d.12答案:a6,7.已知在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,上底面a1b1c1d1的中心为o1,则ao1⋅ac的值为()a.-1b.0c.1d.2答案:c8.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e为d1c1的中点,则向量a1c1在向量de上的投影向量是()a.1010deb.105dec.55ded.25de答案:d解析:设正方体的棱长为1,ab=a,ad=b,aa1=c,则|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=b⋅c=c⋅a=0.∵a1c1=ac=ab+ad=a+b,de=dd1+d1e=dd1+12d1c1=c+12a,∴a1c1⋅de=(a+b)⋅(c+12a)=a⋅c+b⋅c+12a2+12a⋅b=12a2=12,|de|=12+(12)2=52,∴向量a1c1在向量de上的投影向量是|a1c1|cos<a1c1,de> 查看更多

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