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空间向量及其线性运算基础过关练题组一 空间向量的基本概念1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是( )①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1与BC1是相等向量;④在空间四边形ABCD中,AB与CD是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与AA1的模一定相等的向量一共有3个.A.2B.3C.4D.52.下列说法正确的是( )A.任一空间向量与它的相反向量都不相等B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小D.不相等的两个空间向量的模必不相等3.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量相等的是( )A.AD与CBB.OA与OCC.AC与DBD.DO与OB7
题组二 空间向量的加法与减法运算4.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量B1D1的是( )①A1D1-A1A-AB;②BC+BB1-D1C1;③AD-AB1+DD1;④B1D1-AA1+DD1.A.①②B.②③C.③④D.①④5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则选项中为正确命题的是( )A.OA+OD与OB1+OC1是一对相等向量B.OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量C.OA1-OA与OC-OC1是一对相等向量D.12(OA+OB+OC+OD)与12(OA1+OB1+OC1+OD1)是一对相反向量6.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形ABCD是( )A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形7.(2020北京陈经纶中学高二上期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,则|CC1-BD1|= . 8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B= .(用a,b,c表示) 题组三 空间向量的数乘运算9.(2021山东泰安一中等六校阶段性联考)如图,在三棱锥O-ABC中,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=(深度解析)A.12a+16b-23cB.-12a-16b+23cC.12a-16b-13cD.-12a+16b+13c10.(2020山东德州高二上期末)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设AB=a,AD=b,AA1=c,则选项中与向量MC1相等的是( )7
A.-12a-12b-cB.12a+12b+cC.12a-12b-cD.12a+12b-c11.(原创)光岳楼,亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为910,则HE+FB+19DC= . 12.如图,O是△ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若AG=λAM与OG=12OA+14OB+14OC同时成立,则实数λ的值为 . 题组四 空间向量共线、共面问题13.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是( )A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D14.(2020广东广州二中高二月考)已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能得到P,A,B,C四点共面的是( )A.OP=OA+OB+OCB.OP=13OA+13OB+13OCC.OP=-OA+12OB+12OCD.以上都不对15.(2021人大附中高二上阶段性检测)在四面体ABCD中,P在面ABC内,Q在面BCD内,且满足AP=xAB+yAC,AQ=sAB+tAC+uAD,若xy=st,则下面表述中,线段AQ与DP的关系是( )A.AQ与DP所在直线是异面直线7
B.AQ与DP所在直线平行C.线段AQ与DP必相交D.线段AQ与DP延长后相交16.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于 . 17.如图,四边形ABCD,四边形ADEF均是平行四边形,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE.求证:向量MN,CD,DE共面.18.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在B1B和D1D上,且BE=B1B，DF=DD1.(1)求证:A、E、C1、F四点共面;(2)若EF=xAB+yAD+zAA1,求x+y+z的值.7
答案全解全析基础过关练1.A ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;③正确,AD1与BC1的模相等,方向相同;④错误,空间四边形ABCD中,AB与CD的模不一定相等,方向也一定不相反;⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与AA1的模一定相等的向量是A1A,BB1,B1B,CC1,C1C,共5个.故选A.2.C 对于A,零向量与它的相反向量相等,故说法错误;对于B,将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球面,故说法错误;对于C,空间向量与平面向量一样,既有模又有方向,不能比较大小,故说法正确;对于D,一个非零向量的空间向量与它的相反向量不相等,但它们的模相等,故说法错误.故选C.3.D 因为AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,结合平行四边形的性质及相等向量的定义知,DO=OB,AD=BC,OA=CO,故选D.4.C A1D1-A1A-AB=AD1-AB=BD1,①错;BC+BB1-D1C1=BC+CC1-D1C1=BC1+C1D1=BD1,②错;AD-AB1+DD1=B1D+DD1=B1D1,③对;B1D1-AA1+DD1=B1D1-DD1+DD1=B1D1,④对.故选C.5.D 对于A,取AD、B1C1的中点M、N,则OA+OD=2OM,OB1+OC1=2ON,两者是一对相反向量;对于B,OB-OC=CB,OA1-OD1=D1A1,两者是一对相等向量;对于C,OA1-OA=AA1,OC-OC1=C1C,两者是一对相反向量;对于D,设四边形ABCD、四边形A1B1C1D1的中心分别为P、Q,分别取AB、CD的中点E、F,A1B1、C1D1的中点G、H,则12(OA+OB+OC+OD)=OE+OF=2OP,12(OA1+OB1+OC1+OD1)=OG+OH=2OQ,两者是一对相反向量.故选D.6.B 由已知可得AB=DC,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,无法判断其是不是矩形.故选B.7.答案 5解析 |CC1-BD1|=|BB1-BD1|=|D1B1|=|DB|=12+22=5.8.答案 b-a-c解析 如图,连接CA1,A1B=CB-CA1=CB-CA-CC1=b-a-c.7
9.A 连接OM,ON,MN=ON-OM=12(OA+OB)-(OC+CM)=12(OA+OB)-OC-13CB=12(OA+OB)-OC-13(OB-OC)=12OA+16OB-23OC=12a+16b-23c.故选A.小题巧解 本题还可应用如下结论:如图,在△ABC中,D为BC上一点,若BDDC=mn,则AD=mm+nAC+nm+nAB,解法为:MN=ON-OM=12(OA+OB)-13OB+23OC=12a+16b-23c.10.B ∵MC1=MC+CC1,MC=12AC,AC=AB+AD,∴MC1=12(AB+AD)+CC1=12AB+12AD+CC1=12a+12b+c.故选B.11.答案 HA解析 如图,延长EA、FB、GC、HD相交于一点O,则FBFO=110,DCHG=910,∴HE+FB+19DC=HE+110FO+110HG=HE+110FO+110EF=HE+110EO=HE+EA=HA.12.答案 12解析 连接OM.∵OG=12OA+14OB+14OC=12OA+14×2OM=12OA+12OM,∴G为AM的中点,∴AG=12AM.又AG=λAM,7
∴λ=12.13.A 因为BC+CD=BD=2a+4b=2(a+2b)=2AB,所以A,B,D三点共线.14.B 若点P,A,B,C共面,设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1,满足条件的只有B,故选B.15.C 若x=s=0,则AP=yAC,AQ=tAC+uAD,所以AQ=tyAP+uAD,所以A,P,D,Q四点共面;若x≠0,s≠0,则由xy=st得sx=ty,令sx=ty=m,则AQ=mAP+uAD,故A,P,D,Q四点共面,又AQ与DP不平行,所以AQ与DP必相交.故选C.16.答案 657解析 若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc,∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),∴2=-x+7y,-1=4x+5y,3=-2x+λy,解得λ=657.17.证明 由题图知,MN=DN-DM=23DA+13DE-23DB=23DA+13DE-23(DA+DC)=13DE-23DC,所以向量MN,CD,DE共面.18.解析 (1)证明:AC1=AB+AD+AA1=AB+AD+13AA1+23AA1=AB+13AA1+AD+23AA1=(AB+BE)+(AD+DF)=AE+AF,∴A、E、C1、F四点共面.(2)∵EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE)=AD+23DD1-AB-13BB1=-AB+AD+13AA1,∴x=-1,y=1,z=13,∴x+y+z=13.7
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