资料简介
加练课6直线与抛物线的位置关系1.（2020湖北鄂西北五校高二期中）已知抛物线x2=4y内一点P(1,1)，过点P的直线l交抛物线于A，B两点，且点P为弦AB的中点，则直线l的方程为()A.x+2y-3=0B.x-2y+1=0C.2x-y+1=0D.x+y-2=0答案：B2.F为抛物线y2=4x的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，AB的中点为M(x0,y0)，若x0=32，则()A.y0=±13B.y0=±12C.y0=±1D.y0=±32答案：C3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过点F且与曲线C交于A，B两点，若|AB|=163，则l的斜率为()A.±33B.-33C.±3D.-3答案：D4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.[-12,12]B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]答案：C5.设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E,O为坐标原点，且|OE|=13，则p=()A.2B.3C.6D.12答案：A6.（2021重庆云阳江口中学高二月考）直线l经过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于AB两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则△PQF的面积的最小值是()6
A.23B.4C.42D.6答案：B7.已知直线y=2x-3与抛物线y2=4x交于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，则1k1+1k2=.答案：128.（2021江苏连云港海头高级中学高二第二次月考）抛物线x=14y2的准线方程为；已知过点(1,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则y1y2=.答案：x=-1;-4素养提升练9.（多选题）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则()A.C的准线方程为y=1B.线段PQ长度的最小值为4C.M的坐标可能为(5,2)D.OP⋅OQ=-3答案：B;D解析：因为焦点F到准线的距离为2，所以p=2，所以抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x=-1，故A错误；当PQ垂直于x轴时，长度最小，此时P(1,2)，Q(1,-2)，所以|PQ|=4，故B正确；设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2=4x，消去y可得x2-(4 m2+2)x+1=0，消去x可得y2-4my-4=0，所以x1+x2=4 m2+2，y1+y2=4m，当m=1时，点M的坐标为(3,2)，故C错误；又x1x2=1，y1y2=-4，所以OP⋅OQ=x1x2+y1y2=-3，故D正确.10.（2021黑龙江高二学业水平考试）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|⋅|FB|=8，则|AB|=()A.6B.7C.8D.9答案：C解析：由y2=4x得p=2，6
所以F(1,0)，准线方程为x=-1，设直线AB:x=ty+1，联立得x=ty+1,y2=4x,消去x后整理得y2-4ty-4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4t，y1y2=-4，所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2，x1x2=y124×y224=(y1y2)216=1，因为|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，|FA|⋅|FB|=8，所以(x1+1)×(x2+1)=8，所以x1x2+x1+x2+1=8，所以1+4t2+2+1=8，即t2=1，所以x1+x2=4+2=6，所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=6+2=8.11.（多选题）设抛物线y=ax2(a＞0)的准线与对称轴交于点P，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A和B，则()A.点P的坐标为(0,-14a)B.直线AB的方程为y=-14aC.PA⊥PBD.|AB|=12a答案：A;C解析：由y=ax2得，x2=1ay，则焦点为F(0,14a)，准线方程为y=-14a，∴P(0,-14a)，A正确；设切线方程为y=kx-14a(k≠0)，由y=ax2,y=kx-14a,得ax2-kx+14a=0，令Δ=k2-4×a×14a=0，解得k=±1.∴切点A(12a,14a)，B(-12a,14a)，因此直线AB的方程为y=14a，B错误；又PA=(12a,12a)，PB=(-12a,12a)，∴PA⋅PB=-14a2+14a2=0，∴PA⊥PB，即PA⊥PB，C正确；|AB|=|12a-(-12a)|=1a，D错误.12.已知曲线C上每一点到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离.（1）求曲线C的方程；6
（2）是否存在正数a，对于过点M(a,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有OA⊥OB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）由抛物线的定义可得p2=1，∴p=2，∴曲线C的方程是y2=4x.（2）存在.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，当直线的斜率存在时，其方程可设为y=k(x-a)，由y=k(x-a),y2=4x,消去y得k2x2-(2ak2+4)x+a2k2=0，则x1+x2=2ak2+4k2，x1x2=a2，∴y1y2=-4a，若OA⊥OB，则OA⋅OB=x1x2+y1y2=a2-4a=0，解得a=0或a=4，又∵a>0，∴a=4.当直线的斜率不存在时，由x=a,y2=4x,同理可得a=4.综上，a=4.13.（2021山东济南高二期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=2px的准线方程为x=-12.（1）求p的值；（2）直线l:y=x+t(t≠0)交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段AB的长度.答案：（1）由已知得-p2=-12，所以p=1.（2）由（1）知抛物线的方程为y2=2x，联立y2=2x与y=x+t得y2-2y+2t=0，所以Δ=4-8t>0，即t<12，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=2，y1y2=2 t，因为OA⊥OB，所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=(y1y2)24+y1y2=0，可得y1y2=-4或y1y2=0（舍去），因为y1y2=2 t，所以t=-2，所以|AB|=2⋅(y1+y2)2-4y1y2=210.故线段AB的长度为210.创新拓展练14.已知圆(x-4)2+(y-4)2=r2(r＞0)经过抛物线E:y2=2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线E的准线l相切.（1）求抛物线E的标准方程及r的值；6
（2）设经过点F的直线m交抛物线E于A、B两点，点B关于x轴的对称点为点C，若△ACF的面积为6，求直线m的方程.命题分析本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交、三角形的面积公式等，考查了转化思想、计算的能力.答题要领（1）由抛物线的定义可求得p的值，进而可求得抛物线E的标准方程，再由圆与抛物线E的准线相切可求得r的值.（2）由题意可知，直线m的斜率存在且不为0，设直线m的方程及点A，B的坐标，由对称得点C的坐标，联立直线m与抛物线E的方程，列出根与系数的关系，利用△ACF的面积为6可得出关于k的等式，求出k的值，从而可得直线m的方程.详细解析（1）由已知可得，圆心(4,4)到焦点F的距离与到准线l的距离相等，即点(4,4)在抛物线E上，则16=8p，解得p=2，故抛物线E的标准方程为y2=4x.由于圆(x-4)2+(y-4)2=r2(r＞0)与抛物线E的准线相切，所以r=4+p2=5.（2）由已知可得，若直线m的斜率不存在，则点C与点A重合，不符合题意.若直线m的斜率为0，则直线m与x轴重合，直线m与抛物线只有一个交点，不符合题意，所以直线m的斜率存在且不为0，设直线m的方程为y=k(x-1)，其中k≠0.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则点C(x2,-y2)，联立得y=k(x-1),y2=4x,消去y后整理可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，其中Δ=16(k2+1)>0，由根与系数的关系可得x1+x2=2(k2+2)k2，x1x2=1.由抛物线的定义可得|AF|=x1+1，|CF|=x2+1设直线m的倾斜角为α，则k=tanα，6
所以sin∠AFC=|sin(π-2α)|=2|sinα⋅cosα|=2|sinαcosα|sin2α+cos2α=2|tanα|tan2α+1=2|k|k2+1，所以S△AFC=12|AF|⋅|CF|⋅sin∠AFC=12(x1+1)(x2+1)⋅2|k|k2+1=(x1x2+x1+x2+1)⋅|k|k2+1=4(1+k2)k2⋅|k|k2+1=4|k|=6，解得k=±23，故直线m的方程为y=±23(x-1)，即2x±3y-2=0.解题感悟利用根与系数的关系解决直线与抛物线相交问题的基本步骤：（1）设出直线方程及交点坐标；（2）联立直线与抛物线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时需计算Δ；（3）列出根与系数的关系；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；（5）代入根与系数的关系求解.6
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