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抛物线的简单几何性质基础过关练题组一 抛物线的几何性质1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为( ) A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)2.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是 ( )A.x=-1B.y=-1C.x=-2D.y=-23.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为 . 题组二 直线与抛物线的位置关系4.(2020山东济宁高二上期末)若斜率为1的直线l经过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与抛物线C相交于点A,B,则|AB|=( )A.4B.8C.12D.165.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( )A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点6.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为( )A.2x-y-3=0B.2x-y-5=0C.x-2y=0D.x-y-1=07.(2020天津耀华中学高二上期末)若直线y=kx+1与抛物线y2=4x有且只有一个公共点,则k的值是 .8.(2021湖南永州第一中学高二上第一次月考)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.9.(2020海南中学高二上期中)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O是坐标原点.(1)求证:OA⊥OB;11
(2)当△OAB的面积等于10时,求k的值.题组三 抛物线的综合问题10.(2020山东淄博高二上期末)方程mx2+ny=0和mx2+ny2=1(mn≠0)表示的两条曲线在同一坐标系中可以是( )11.(2020天津一中高二上期末)双曲线C1:x24-y2b2=1(b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)相交于O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点F,则b=( )A.2B.3C.5D.612.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1,两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30m,如图2,则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为( )A.180mB.200mC.220mD.240m能力提升练题组一 抛物线的几何性质 1.(2020湖南张家界高二上期末,)已知抛物线C:y2=8px(p>0)的焦点为F,C与抛物线x2=py在第一象限的交点为M,且|MF|=4,则p=( )A.6B.4C.2D.12.（多选）(2021山东临沂高二上学分认定考试,)已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是( )A.1|AF|+1|BF|=1B.|AF|=6C.|BD|=2|BF|D.F为AD的中点3.(2020北京通州高二上期末,)已知双曲线x2-y23=1,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,点P(x0,y0)为抛物线上一点.11
(1)求双曲线的焦点坐标;(2)若点P到抛物线的焦点的距离是5,求x0的值.题组二 直线与抛物线的位置关系4.(多选)(2020山东烟台高二上期末,)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的投影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是(深度解析)A.∠CFD=90°B.△CMD为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为±3D.△AOB的面积为45.(2020河南开封高二上期末,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,2p)在抛物线C上,且|PF|=3.(1)求抛物线C的方程;(2)过焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点,点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),O为坐标原点,若OA·OB=-(x1+x2),求直线l的方程.题组三 抛物线的综合运用6.(2020山东泰安高二上期末,)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(深度解析)A.2+12B.2+1C.5+12D.5-17.(2020山东淄博高二上期末,)已知直线l:4x-3y+6=0,抛物线C:y2=4x上的一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为 ,P到直线l距离的最小值为 . 8.()扎花灯是中国的一门传统手艺,逢年过节常常在大街小巷看到各式各样的花灯.现有一个花灯,它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来的(如图),花灯的下顶点为A,上顶点为B,AB=8分米,在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上,且AC=2分米,若球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点A处取到,建立适当的坐标系可得抛物线方程为y=ax2(a>0),则实数a的取值范围是 . 11
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答案全解全析基础过关练1.D ∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-p2=-1,即p=2,∴抛物线的焦点坐标为(0,1).2.A 如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意,得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin30°=2,点A到准线的距离d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.3.答案 y2=4x解析 抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴5+p2=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.4.B 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),因此直线l的方程为y=x-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=x-1,得(x-1)2=4x,整理得x2-6x+1=0,所以x1+x2=6,根据抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=8.故选B.5.C 因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线恒过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.6.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2⇒(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).又AB的中点为M(2,1),∴y1+y2=2,∴直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2,因此直线l的方程为y-1=2(x-2),11
整理得2x-y-3=0,故选A.7.答案 0或1解析 ①当直线y=kx+1与x轴平行时,k=0,直线方程为y=1,与抛物线y2=4x只有一个公共点;②当k≠0时,方程y=kx+1与抛物线方程联立,消去y得k2x2+(2k-4)x+1=0,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1.综上,k=0或k=1.8.解析 (1)由题意知抛物线的准线方程为x=-32,焦点F32,0,故直线l的方程为y-0=tan60°x-32,即y=3x-332,与抛物线方程联立,消去y,整理得4x2-20x+9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5.由抛物线的定义可知,|AB|=3+x1+x2=8.(2)∵|AB|=9,∴|AB|2=92,∴由梯形的中位线定理可知线段AB的中点M到准线的距离为92.9.解析 (1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅有一个交点,不合题意,∴k≠0.由y=k(x+1),得x=yk-1,代入y2=-x,整理得,y2+1ky-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-1k,y1y2=-1.∵点A,B在抛物线y2=-x上,∴A(-y12,y1),B(-y22,y2),∴kOA·kOB=y1-y12·y2-y22=1y1y2=-1,∴OA⊥OB.(2)设直线AB与x轴交于点E,则E(-1,0),∴|OE|=1,∴S△OAB=12|OE|(|y1|+|y2|)=12|y1-y2|=121k2+4=10,解得k=±16.10.B 方程mx2+ny=0可化为x2=-nmy,若mn>0,则方程x2=-nmy表示开口向下的抛物线,mx2+ny2=1(mn≠0)表示椭圆或圆;若mn<0,则方程x2=-nmy表示开口向上的抛物线,mx2+ny2=1(mn≠0)表示双曲线.结合选项可知,只有B符合要求,故选B.11.C 如图,不妨设A在第二象限,11
易得双曲线的渐近线方程为y=±b2x,由x2=2py,y=-b2x,得A-pb,b2p2,同理可得,Bpb,b2p2.易得抛物线的焦点F0,p2,所以AF=pb,p2-b2p2,OB=pb,b2p2.因为点F为△OAB的垂心,所以AF⊥OB,所以pb,p2-b2p2·pb,b2p2=0,解得b=5,故选C.12.答案 B信息提取 ①“门”的内侧曲线呈抛物线形;②A,B,C,D都在抛物线上.数学建模 根据抛物线的几何特征,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,进而求解.解析 建立平面直角坐标系,如图所示,设抛物线的解析式为x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),则点B(30,-150+t),由B、D在抛物线上得,152=-2pt,302=-2p(t-150),解得p=94,t=-50,所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150+50=200m,故选B.能力提升练1.D 由y2=8px,x2=py,得x4=8p3x,解得xM=2p,∴|MF|=xM+2p=4p=4,从而p=1.故选D.2.BCD 如图,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,11
直线l的斜率为3,则∠xFA=60°,则∠FDA1=30°.设BD=x,则|BB1|=x2,|AA1|=4+x2,所以|BF|=|BB1|=x2,|AF|=|AA1|=4+x2,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+x2+x2=4+x=8,解得x=4,所以|BF|=2,|AF|=6,故B正确;1|AF|+1|BF|=16+12≠1,故A不正确;|BD|=4=2|BF|,故C正确;|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,故D正确.故选BCD.3.解析 (1)因为双曲线的方程为x2-y23=1,所以a2=1,b2=3.所以c2=a2+b2=4.所以c=2.所以双曲线的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).(2)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,所以抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),所以p=4.因为点P(x0,y0)为抛物线上一点,所以点P(x0,y0)到抛物线的焦点的距离等于点P(x0,y0)到抛物线的准线x=-2的距离.因为点P到抛物线的焦点的距离是5,所以x0+2=5,所以x0=3.4.AC 过点M向准线l作垂线,垂足为N,易知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).选项A中,易知|AF|=|AC|,所以∠AFC=∠ACF,又因为∠OFC=∠ACF,所以∠OFC=∠AFC,所以FC平分∠OFA,11
同理可知FD平分∠OFB,所以∠CFD=90°,故A正确;选项B中,假设△CMD为等腰直角三角形,则12|CD|=|MN|,因为|AF|=3|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=4|BF|,所以|MN|=2|BF|,所以|CD|=2|MN|=4|BF|,所以|CD|=|AB|,显然不成立,故B错误;选项C中,设直线AB的方程为x=my+1,联立y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,因为|AF|=3|BF|,所以y1=-3y2,所以-2y2=4m,-3y22=-4,所以m2=13,所以1m=±3,所以直线AB的斜率为±3,故C正确;选项D中,取m=33,则y1+y2=433,y1y2=-4,所以|y1-y2|=4332+16=833,所以S△AOB=12·|OF|·|y1-y2|=12×1×833=433,故D错误.故选AC.解题模板 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线的倾斜角为θ,焦点弦与抛物线的交点为A,B(A在x轴的上方,B在x轴的下方),此时|AF|=p1-cosθ,|BF|=p1+cosθ,S△AOB=p22sinθ.5.解析 (1)由点P(x0,2p)在抛物线C上,得(2p)2=2px0,解得x0=p,由抛物线的定义得,|PF|=x0+p2=3p2=3,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为x=my+1,联立y2=4x,x=my+1,消去x,得y2-4my-4=0,故y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=y124×y224=y12y2216=1,x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2,则OA·OB=-(x1+x2)=x1x2+y1y2=-3,即4m2+2=3,解得m=±12,所以直线l的方程为y=2x-2或y=2-2x.6.B 由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,从而A(0,-1),作PQ⊥l于点Q,如图所示.设∠PAQ=θ.11
∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴m=|PA||PB|=|PA||PQ|=1sinθ.结合图形知,当AP与抛物线相切时,sinθ最小,从而m最大.设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),由x2=4y,y=kx-1,得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得P点坐标为(2,1).设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).在双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1,又2a=|PA|-|PB|=22-2⇒a=2-1,∴离心率e=ca=12-1=2+1,故选B.解题模板 在解决圆锥曲线问题时,对条件的运用,可用代数法,借助方程的手段解决问题;也可用几何法,利用几何性质、几何图形解决问题.如本题中条件“|PA|=m|PB|”就是借助图形,利用几何性质解决问题,简化运算.7.答案 1;34解析 设抛物线C:y2=4x上的点到直线4x-3y+6=0的距离为d1,到准线的距离为d2,到y轴的距离为d3,由抛物线方程可得,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1,则d3=d2-1,|PF|=d2,因此d1+d3=d1+d2-1=d1+|PF|-1,如图所示,d1+|PF|的最小值是焦点F到直线4x-3y+6=0的距离,即|4+6|42+(-3)2=2,所以d1+d3的最小值为2-1=1.11
设平行于直线l且与抛物线C:y2=4x相切的直线方程为4x-3y+m=0(m≠6),由4x-3y+m=0,y2=4x,得y2-3y+m=0,因为直线4x-3y+m=0与抛物线C:y2=4x相切,所以Δ=(-3)2-4m=0,解得m=94,因此直线方程为4x-3y+94=0,所以两平行线间的距离为6-9442+(-3)2=34,即P到直线l距离的最小值为34.8.答案 0,14信息提取 ①花灯的截面是抛物线;②在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上.数学建模 建立平面直角坐标系,利用抛物线的方程y=ax2(a>0)设出抛物线上动点P的坐标P(m,am2),建立目标函数|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4,将问题转化为不等式a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立,从而求得a的范围.解析 由题意,以A为原点,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示:则A(0,0),C(0,2),由抛物线方程为y=ax2(a>0),设抛物线上任意一点P(m,am2),则|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)·m2+4.由于|PC|的最小值2是在P位于A(0,0)处所取得的,即m=0时,|PC|取得最小值2,故对任意的实数m,|PC|2=a2m4+(1-4a)·m2+4≥4恒成立.令t=m2,其中t≥0,则有a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立.整理可得t(a2t+1-4a)≥0,则a2t+1-4a≥0对任意的t≥0恒成立.故(a2t+1-4a)min=1-4a≥0,解得a≤14.综上,实数a的取值范围为0,14.11
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