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第三章圆锥曲线的方程3.2抛物线的简单几何性质基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)

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抛物线的简单几何性质1.(2021北京朝阳高二期中)直线l过抛物线y2=2x的焦点F,且l与该抛物线交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).若x1+x2=3,则弦AB的长是()A.4B.5C.6D.8答案:A2.(2021北京丰台高二期中)已知抛物线M:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线N:y23-x2=1的一个焦点重合,则p=()A.2B.2C.25+1D.4答案:D3.(2021北京第五十五中学高二月考)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(2,y0),若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.2B.22C.4D.23答案:D4.已知抛物线y2=2px(p>0),F为抛物线的焦点,O为坐标原点,A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上的两点,线段AB的中点到抛物线准线的距离为5,△ABO的重心为F,则p=()A.1B.2C.3D.4答案:D5.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案:C6.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则该抛物线的方程为()5,A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x答案:C7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过F且与抛物线交于A,B两点,过A作抛物线准线的垂线,垂足为M,∠MAF的平分线与抛物线的准线交于点P,线段AB的中点为Q.若|AB|=8,则|PQ|=.答案:4素养提升练8.(多选题)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则()A.C的准线方程为x=-4B.F点的坐标为(0,4)C.|FN|=12D.三角形ONF的面积为162(O为坐标原点)答案:A;C;D解析:如图,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A.由题意可得抛物线的准线方程为x=-4,F点的坐标为(4,0),则|AN|=4,|FF'|=8,故A正确,B错误;在直角梯形ANFF'中,中位线BM的长为|AN|+|FF'|2=6,由抛物线的定义得|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,|ON|=122-42=82,S△ONF=12×82×4=162,故C、D正确.5,9.(2021山东济宁高二期末)已知抛物线y2=2x的焦点为F,点P为该抛物线上的动点,若A(-12,0),则当|PA||PF|取最大值时,|PF|=()A.12B.1C.32D.2答案:B解析:因为点P为该抛物线上的动点,所以设点P的坐标为(y022,y0),由题意知F(12,0),抛物线的准线方程为x=-12,因此|PF|=y022-(-12)=y022+12,令|PF|=y022+12=t⇒y02=2t-1(t>12),则|PA||PF|=(y022+12)2+y02y022+12=t2+2t-1t=1+2t-1t2=-(1t-1)2+2,当1t=1,即t=1时,|PA||PF|有最大值,最大值为2,此时|PF|=1.10.(多选题)已知抛物线x2=12y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论正确的有()A.点F的坐标为(18,0)B.若直线MN过点F,则x1x2=-116C.若MF=λNF,则|MN|的最小值为12D.若|MF|+|NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为58答案:B;C;D解析:易知点F的坐标为(0,18),故A中结论错误;5,根据抛物线的性质知,MN过焦点F时,x1x2=-p2=-116,故B中结论正确;若MF=λNF,则MN过点F,则|MN|的最小值即抛物线通径的长,为2p=12,故C中结论正确;抛物线x2=12y的准线方程为y=-18,过点M,N,P分别作准线的垂线MM',NN',PP',垂足分别为M',N',P',所以|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=32,所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34,所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP'|-18=34-18=58,故D中结论正确.11.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.13B.23C.23D.223答案:D解析:设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由y=k(x+2),y2=8x,消去y得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,∴x1+x2=4(2-k2)k2,x1x2=4.由抛物线的定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,∵|FA|=2|FB|,∴x1+2=2x2+4⇒x1=2x2+2,代入x1x2=4得x22+x2-2=0,∴x2=1或x2=-2(舍去),∴x1=4,∴4(2-k2)k2=5,∴k2=89,∵k>0,∴k=223.12.过点(2,22)的抛物线C的对称轴是x轴,顶点在坐标原点,直线l:y=2x-2交抛物线C于A,B(A在B的上方)两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)试问:在抛物线AOB这段曲线上是否存在一点P,使△PAB的面积最大?若存在,求出△PAB的最大面积;若不存在,请说明理由.答案:(1)由已知可设抛物线方程为y2=mx(m≠0),把点(2,22)代入,得(22)2=2 m,解得m=4,所以抛物线的方程为y2=4x.5,(2)如图,由y=2x-2,y2=4x得x2-3x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=3+52,x2=3-52,x1+x2=3,所以y1=2x1-2=1+5,y2=2x2-2=1-5,所以|AB|=x1+x2+p=5.设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,则d=|2x0-y0-2|5=15|y022-y0-2|=125|(y0-1)2-5|,因为1-5<y0<1+5,所以当y0=1时,dmax=525=52,所以(S△PAB)max=12×35×52=154,当y0=1时,x0=14,即P(14,1),所以存在点P(14,1)满足题意,此时△PAB的面积最大,为154.5 查看更多

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