资料简介
抛物线及其标准方程基础过关练题组一 抛物线的定义及其应用1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( ) A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线2.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和到直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线3.(2020天津耀华中学高二上期末)设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为5,则|PF|等于( )A.4B.6C.8D.104.(2020北京清华大学附中高二上期末)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=( )A.4B.2C.1D.8题组二 抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程5.(2020北京石景山高二上期末)抛物线x2=-2y的焦点坐标是( )A.0,12B.0,-12C.(1,0)D.(-1,0)6.(2020山西长治二中高二上期末)抛物线x2=8y的准线方程是( )A.x=2B.y=2C.x=-2D.y=-27.已知抛物线的焦点为F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是( )A.y2=2axB.y2=4axC.y2=-2axD.y2=-4ax8.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )A.y2=8xB.x2=yC.y2=8x或x2=yD.无法确定9.(2021江苏泰州中学高二上检测)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是( )A.y2=16xB.x2=-8yC.y2=16x或x2=-8yD.y2=16x或x2=16y10.(2020北京通州高二上期末)已知抛物线的顶点在原点,准线方程为y=-2,那么该抛物线的标准方程是 . 11,11.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为 . 题组三 抛物线的综合运用12.(2020湖北宜昌高二上期末)已知抛物线y2=ax(a>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则a的值为( )A.12B.1C.2D.413.(2020天津高二上期末)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x24-y23=1的一个焦点,则p=( )A.2B.10C.7D.2714.(2020天津和平高二上期末)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P.若|PF|=52,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±12xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±33x15.(2020湖北宜昌高二上期末)已知当抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,量得水面宽8m,当水面升高1m后,水面宽度是 m. 16.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;(2)求点P到点B12,2的距离与到直线x=-12的距离之和的最小值.能力提升练题组一 抛物线的定义及其应用1.(2020山东潍坊高二上期末,)已知抛物线y2=4x,F为其焦点,抛物线上两点A、B满足|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到y轴的距离等于( ) A.2B.3C.4D.62.(2020四川成都高二上期末,)设点A(4,5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上与直线AF不共线的一点,则△PAF周长的最小值为( )11,A.18B.13C.12D.73.(2020天津耀华中学高二上期末,)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足为C,D.若|AF|=3|BF|,且三角形CDF的面积为3,则p的值为(深度解析)A.233B.33C.62D.2634.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1外切,且与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是 . 题组二 抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程5.(2020湖北宜昌高二上期末,)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程是( )A.x2=16yB.x2=8yC.x2=833yD.x2=1633y6.()探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点坐标.题组三 抛物线的综合运用7.(2020广东惠州高二上期末,)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为线段AB的中点,则点M到y轴的最短距离为( )A.12B.1C.32D.28.(2020海南中学高二上期中,)点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值是( )A.5B.3C.2D.29.(多选)()抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,抛物线上异于原点O的任意一点P在直线l上的射影为点E,∠EPF的外角平分线交x轴于点Q,过点Q作QN⊥EP交EP的延长线于点N,过点Q作QM⊥PF交线段PF于点M,则( )11,A.|PE|=|PF|B.|PF|=|QF|C.|PN|=|MF|D.|PN|=|KF|10.(2020天津和平高二上期末,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为H,点P在C上,且|PH|=52|PF|,则△PFH的面积为 . 11.()抛物线的光学性质:平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点.双曲线的光学性质:从双曲线一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.这些性质可以应用在天文望远镜的设计等方面.卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜.反射镜中大的称为主镜,小的称为副镜,通常在主镜的中央开孔,成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜(中心截面是抛物线C),当来自天体平行于对称轴的光线投射到主镜上时,经过主镜反射,将会汇聚到卡塞格林焦点F处,但光线尚未完全汇聚时,又受到以F为焦点的凸双曲面镜(中心截面是双曲线D的一支)的反射,穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点F'处.以FF'的中点为原点,FF'所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.若|FF'|=2(单位:米),则抛物线C的方程为 .凹抛物面镜的口径MN为42-4,凸双曲面镜的口径ST为12,若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射,则双曲线D的离心率为 . 11,答案全解全析基础过关练1.D 如图,设点P为满足条件的一点,由题意可得点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,所以点P在以点A为焦点,y轴为准线的抛物线上,故点P的轨迹为抛物线,故选D.2.A 经过验证,点(1,1)在直线x+2y=3上,所以满足条件的点的轨迹是直线.故选A.3.C 因为抛物线方程为y2=12x,所以p=6,由抛物线的定义可得|PF|=xP+p2=5+62=8,故选C.4.C 如图,易知F14,0,准线l的方程为x=-14.过A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,即54x0=x0+14,∴x0=1.5.B 由抛物线x2=-2y可知,焦点在y轴的负半轴上,p=1,因此焦点为0,-12,故选B.6.D 由题意知,抛物线的焦点在y轴的正半轴上,且2p=8,所以其准线方程为y=-2,故选D.7.B 因为抛物线的焦点为F(a,0)(a<0),所以抛物线的标准方程为y2=4ax,故选B.8.C 由题设知抛物线开口向右或开口向上,设其方程为y2=2p1x(p1>0)或x2=2p2y(p2>0),将(2,4)代入可得p1=4或p2=12,所以所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=y,故选C.9.C 当焦点在x轴上时,根据y=0,x-2y-4=0可得焦点坐标为(4,0),则抛物线的标准方程为y2=16x;当焦点在y轴上时,根据x=0,x-2y-4=0可得焦点坐标为(0,-2),则抛物线的标准方程为x2=-8y.故选C.10.答案 x2=8y解析 依题意设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),11,则抛物线的准线方程为y=-p2,因此-p2=-2,解得p=4,∴抛物线的标准方程为x2=8y.11.答案 (x-2)2+y2=16解析 由题意得,焦点为F(2,0),准线l的方程为x=-2,则圆的半径r=4,所以圆的方程为(x-2)2+y2=16.12.D ∵a>0,∴y2=ax的准线方程为x=-a4.圆的方程可化为(x-3)2+y2=16.由直线与圆相切得3+a4=4,解得a=4,故选D.13.D 易知抛物线y2=2px(p>0)的焦点在x轴的正半轴上,所以其准线在y轴左侧.双曲线x24-y23=1的左焦点为(-7,0),故抛物线y2=2px的准线方程为x=-7,∴p2=7,p=27,故选D.14.C ∵抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),p=2,抛物线和双曲线有一个公共的焦点,∴p=2c,即c=1.设P(m,n),由抛物线的定义知,|PF|=m+p2=m+1=52,∴m=32.∴点P的坐标为32,±6.∴a2+b2=1,94a2-6b2=1,解得a=12,b=32.则双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x.故选C.15.答案 42信息提取 ①抛物线形拱桥;②顶点距水面2m时,量得水面宽8m;③水面升高1m,求水面宽度.数学建模 建立坐标系,求出抛物线的标准方程,利用方程解决问题.解析 建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由(4,-2)在抛物线上,知16=-2p·(-2),解得p=4,11,∴抛物线方程为x2=-8y.当y=-1时,x2=8⇒x=±22.此时,水面宽度是42m.16.解析 (1)将x=3代入y2=2x,得y=±6.∵6>2,∴点A在抛物线的内部.过点P作PQ垂直抛物线的准线l:x=-12,垂足为Q,结合抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为72,即|PA|+|PF|的最小值为72.此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).(2)易知点B12,2在抛物线的外部.设点P到准线l:x=-12的距离为d.结合抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.又|BF|=12-122+(2-0)2=2,∴所求距离之和的最小值为2.能力提升练1.B 设线段AB的中点为M,如图所示,l是抛物线的准线,过点A作AA1⊥l于点A1,过点M作MM1⊥l于点M1,交y轴于点N,过点B作BB1⊥l于点B1,∵|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∴|AA1|+|BB1|=8.由点M是线段AB的中点知,|MM1|=12(|AA1|+|BB1|)=4.∵2p=4,∴p=2,∴|M1N|=1,∴|MN|=3,故选B.2.C 由题意得抛物线的焦点F(0,2),准线方程为y=-2,过P作PP1垂直于准线,交准线于P1,过A作AA1垂直于准线,交准线于A1,如图所示,11,根据抛物线的定义可知|PF|=|PP1|,∵A(4,5),∴|AF|=42+(5-2)2=5,|AA1|=5-(-2)=7,C△PAF=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PP1|≥|AF|+|AA1|=5+7=12,故选C.3.C 过点B作BM∥l交直线AC于点M,交x轴于点N,设点A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3|BF|得x1+p2=3x2+p2,即x1-3x2=p.①因为NF∥AM,所以|NF||AM|=|BF||AB|=14,所以|NF|=14(x1-x2),所以|OF|=|ON|+|NF|=x2+14(x1-x2)=p2.②由①②可解得x1=3p2,x2=p6.在Rt△ABM中,|AB|=x1+x2+p=83p,|AM|=x1-x2=43p,所以|BM|=83p2-43p2=433p,所以S△CDF=12×433p·p=3,解得p=62或p=-62(舍去).故选C.解题模板 在解决与抛物线焦半径有关的问题时,常将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离,如:焦点Fp2,0(p>0),准线方程为x=-p2,P(x0,y0),则|PF|=x0+p2.4.答案 y2=-8x解析 如图所示,设点P到直线l的距离为d,则|PC|=d+1.设P(x,y),则(x+2)2+y2=|x-1|+1.11,由图知,x≤1,∴x-1≤0.∴(x+2)2+y2=2-x,化简,得y2=-8x.5.A 由双曲线的离心率为2知,e=ca=2,∴c=2a,从而a2+b2=4a2,即b2=3a2,因此,双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x.易知抛物线C2的焦点为0,p2.依题意得0-p23+1=2,解得p=8(负值舍去),∴抛物线C2的方程为x2=16y.故选A.6.解析 如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系,使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条件可得点A的坐标是(40,30),且在抛物线上,代入方程,得302=2p·40,解得p=454.故所求抛物线的标准方程为y2=452x,焦点坐标是458,0.7.B 如图所示,设抛物线y2=2x的焦点为F,准线为l,则l:x=-12,过A、B、M分别作AA'、BB'、MM'垂直于l,垂足分别为A'、B'、M',连接FA,FB.由抛物线的定义知|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|.由M为线段AB的中点及梯形中位线定理得|MM'|=12(|AA'|+|BB'|)=12(|FA|+|FB|)≥12|AB|=12×3=32,则M到y轴的距离d≥32-12=1(当且仅当线段AB过抛物线的焦点时取“=”),11,所以点M到y轴的最短距离为1.故选B.8.D 设抛物线的焦点为F.由y2=4x得抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1.如图,设过点P且与直线x=-1垂直的直线交直线x=-1于点P',连接PF,所以P到直线x=-1的距离|PP'|等于|FP|.连接AF交抛物线于点Q,由图形知,当点P在点Q时,点P到点A的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小,最小值为12+12=2,故选D.9.ABD 由抛物线的定义可知,|PE|=|PF|,A正确;易知PN∥QF,PQ平分∠FPN,所以∠FQP=∠NPQ=∠FPQ,所以|PF|=|QF|,B正确;由PQ是∠EPF的外角平分线,QN⊥PE,QM⊥PF得|QM|=|QN|,从而有|PM|=|PN|,若|PN|=|MF|,则|PM|=|FM|,则|QP|=|QF|,则△PFQ为等边三角形,∠FPQ=60°,所以∠FPE=60°,但这只在特殊位置才有可能,因此C错误;连接EF,由上述分析知|PE|=|QF|,又PE∥QF,所以四边形EPQF是平行四边形,所以|EF|=|PQ|,显然|EK|=|QN|,所以|KF|=|PN|,D正确.故选ABD.10.答案 4±23解析 由抛物线C:y2=4x,得焦点F(1,0),准线方程为x=-1.过P作PM垂直准线于M,不妨设Pt24,t(t>0),则|PF|=|PM|=t24+1,|PH|=t24+12+t2.11,由|PH|=52|PF|,可得(t2+4-8t)(t2+4+8t)=0,即t2-8t+4=0,解得t=4±23.所以△PFH的面积为12×2·t=4±23.11.答案 y2=-4x;2信息提取 ①主镜是凹抛物面镜(中心截面是抛物线C);②当来自天体平行于对称轴的光线投射到主镜上时,经过主镜反射,将会汇聚到卡塞格林焦点F处;③光线尚未完全汇聚时,受到以F为焦点的凸双曲面镜(中心截面是双曲线D的一支)的反射;④穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点F'处;⑤|FF'|=2;⑥凹抛物面镜的口径MN为42-4,凸双曲面镜的口径ST为12.数学建模 ①由条件可得抛物线方程;②利用抛物线方程求得M点坐标;③利用三角形相似知识求得S点坐标;④利用S点坐标及焦距求得双曲线的离心率.解析 设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0).因为|FF'|=2,所以F(-1,0).由题意得p2=1,即p=2.故抛物线的标准方程为y2=-4x.由|MN|=42-4,得yM=2(2-1),所以4(2-1)2=-4xM,所以xM=22-3.因为|ST|=12,所以yS=14.由三角形相似可得xS+1xM+1=ySyM,即xS+122-3+1=142(2-1),所以xS=-34.设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则-342a2-142b2=1,a2+b2=c2=1,解得a2=12,b2=12.故e=ca=2.11
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