资料简介
第1课时 椭圆的简单几何性质基础过关练题组一 椭圆的几何性质及其应用1.(2020天津一中高二上期末质量调查)已知椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=( )A.2B.2C.14D.42.(2020山东菏泽高二上期末)中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为( )A.83B.23C.43D.43.(2020河北唐山一中高二上期中)已知F1,F2分别为椭圆x216+y29=1的左,右焦点,A为上顶点,则△AF1F2的面积为( )A.6B.15C.67D.374.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中)椭圆x236+y2m=1的短轴长为8,则实数m= . 题组二 求椭圆的离心率的值或取值范围5.(2021河北保定唐县一中高二上月考)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( )A.13B.33C.22D.126.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是( )A.0,12B.13,12C.13,1D.12,17.比较椭圆①x2+9y2=36与②x29+y25=1的形状, (填序号)更扁. 8.在平面直角坐标系Oxy中,若椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点,则椭圆E的离心率是 . 12
题组三 椭圆几何性质的综合运用9.(2020山东泰安高二上期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为43,则C的方程为( )A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=110.(2021江西南昌二中高二上月考)椭圆x24+y2=1的两个焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线,与椭圆的一个交点为P,则|PF2|=( )A.32B.3C.72D.411.设e是椭圆x24+y2k=1的离心率,且e∈12,1,则实数k的取值范围是( )A.(0,3)B.3,163C.(0,3)∪163,+∞D.(0,2)12.如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=13,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,若PF·PA的最大值是12,求椭圆的方程.能力提升练题组一 椭圆的几何性质及其应用 1.(2020江西南昌二中高二上月考,)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( 易错 )A.x25+y2=1B.x24+y25=1C.x25+y2=1或x24+y25=1D.以上答案都不对2.(多选)()若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的离心率相同,且a1>a2,则下列结论正确的是( )A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.a1a2=b1b2C.a12-a22<b12-b22D.a1-a2<b1-b212
3.(2020浙江杭州七县区高二上期末,)椭圆C:x24+y2=1的右顶点、上顶点分别为A,B,点M是椭圆上第一象限内的点,O为坐标原点,当四边形AOBM的面积最大时,点M的坐标是 . 4.(2020浙南名校联盟高二上期中联考,)已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆上,且P到原点O的距离等于半焦距,△POF的面积为6,则b= . 5.(2020湖南常德高二上期末,)已知椭圆x24+y23=1的右焦点为F,点M在☉O:x2+y2=3上,且M在第一象限,过点M作☉O的切线交椭圆于P,Q两点,则△PFQ的周长为 .深度解析 题组二 求椭圆的离心率的值或取值范围6.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体,原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中,发现“切面”是一个椭圆,若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60度的直角梯形,则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.137.(2020浙江温州高二上期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,且|PF1|=4|PF2|,则此椭圆的离心率e的最小值为( )A.35B.45C.14D.348.(2020浙江宁波九校高二上期末,)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0),点A(-2,1)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=8,则椭圆E的离心率的取值范围是(深度解析)A.49,47B.49,47C.29,27D.29,279.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦点,P是椭圆上一点异于左、右顶点,若存在以22c为半径的圆内切于△PF1F2,则椭圆的离心率的取值范围是( )A.0,13B.0,23C.13,23D.23,112
10.()黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价值。这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理性的比例。我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”,则以下四种说法:①椭圆x22+y25+1=1是“黄金椭圆”;②若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),且满足b2=ac,则该椭圆为“黄金椭圆”;③设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,若∠ABF=90°,则该椭圆为“黄金椭圆”;④设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右顶点分别是A,B,左,右焦点分别是F1,F2,若|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,则该椭圆为“黄金椭圆”.其中说法正确的个数为( )A.1B.2C.3D.411.()已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈π12,π6,求该椭圆的离心率e的取值范围.题组三 椭圆几何性质的综合运用12.()已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1的直线l交椭圆于D、E两点,|DF1|=5|F1E|,|DF2|=2,且DF2⊥x轴.若点P是圆O:x2+y2=1上的一个动点,则|PF1|·|PF2|的取值范围是( )A.[3,5]B.[2,5]C.[2,4]D.[3,4]13.(多选)()如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是( )12
A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.c1a2>a1c2D.c1a1<c2a214.(多选)(2021江苏泰州中学高二上检测,)已知椭圆x24+y23=1的左,右焦点分别为F,E,直线x=m(-1<m<1)与椭圆相交于点A,B,则( )A.当m=0时,△FAB的面积为3B.不存在m使△FAB为直角三角形C.存在m使四边形FBEA的面积最大D.存在m使△FAB的周长最大15.(2020辽宁大连高二上期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.12
答案全解全析基础过关练1.D 因为椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,所以长轴长2a=2,短轴长2b=21m,所以21m=1,解得m=4.故选D.2.答案 C信息提取 ①瓷盘的形状是椭圆;②长轴长为8,短轴长为4.数学建模 以瓷盘为情境,构建椭圆模型,利用椭圆的性质解决求值问题.由条件求出a、b的值,利用a、b、c的关系求解.解析 由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),易知长轴长2a=8,短轴长2b=4,所以a=4,b=2,所以c=a2-b2=23,因此焦距2c=43.故选C.3.D 由椭圆方程x216+y29=1得A(0,3),F1(-7,0),F2(7,0),∴|F1F2|=27.∴S△AF1F2=12|F1F2|·|yA|=12×27×3=37.故选D.4.答案 16解析 因为椭圆x236+y2m=1的短轴长为8,所以椭圆的焦点在x轴上,所以m=4,解得m=16.5.B 椭圆的方程化为标准形式为x2m2+y2m3=1(m>0),∴a2=m2,b2=m3,∴c2=a2-b2=m6,∴e2=13,又0<e<1,∴e=33.故选B.6.C 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a.又|PF1|-|PF2|≤|F1F2|,即23a≤2c,所以e≥13,又0<e<1,所以13≤e<1.故椭圆的离心率e的取值范围是13,1.故选C.7.答案 ①解析 x2+9y2=36化为标准方程为x236+y24=1,故离心率e1=426=223;x29+y25=1的离心率e2=23.因为e1>e2,所以①更扁.8.答案 2212
解析 依题意得b=c,所以b2=c2⇒a2-c2=c2⇒a2=2c2⇒c2a2=12,又e=ca>0,所以e=22.9.A 由△AF1B的周长为43及椭圆的定义可知4a=43,∴a=3.∵e=ca=33,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为x23+y22=1.故选A.10.C 依题意得c=4-1=3,不妨令F1(-3,0),则|PF1|=12.又|PF1|+|PF2|=4,所以|PF2|=4-|PF1|=72.故选C.11.C 当0<k<4时,e=ca=4-k2∈12,1,即12<4-k2<1⇒1<4-k<4,解得0<k<3.当k>4时,e=ca=k-4k∈12,1,即12<k-4k<1⇒14<k-4k<1⇒14<1-4k<1⇒0<4k<34,解得k>163.综上,实数k的取值范围为(0,3)∪163,+∞.12.解析 由题易知A(a,0),F(-c,0).∵e=ca=13,∴a=3c.设P(x0,y0),则-3c≤x0≤3c.∵PF=(-c-x0,-y0),PA=(a-x0,-y0),∴PF·PA=(-c-x0,-y0)·(a-x0,-y0)=-ac+cx0-ax0+x02+y02=-ac+cx0-ax0+x02+b2-b2a2x02=c2a2x02-(a-c)x0+b2-ac=19x02-(a-c)x0+a2-c2-ac=19x02-2cx0+5c2=19(x0-9c)2-4c2.12
∴当x0=-3c时,PF·PA有最大值,且最大值为12c2.∴12c2=12,∴c2=1,∴a2=9,b2=a2-c2=8,∴椭圆的方程为x29+y28=1.能力提升练1.C 直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0).当焦点在x轴上时,设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),由题意知,c1=2,b1=1,∴a12=5,∴椭圆的标准方程为x25+y2=1;当焦点在y轴上时,设椭圆的方程为x2b22+y2a22=1(a2>b2>0),由题意知,b2=2,c2=1,∴a22=5,∴椭圆的标准方程为y25+x24=1.故选C.易错警示 当不能确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上时,要分两种情况讨论,解题时要防止遗漏导致解题错误,如本题有两种情况,得到两解.2.AB 依题意,e=c1a1=c2a2,即1-b1a12=1-b2a22,所以b1a1=b2a2,所以a1a2=b1b2,因此B正确;又a1>a2,所以椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,因此A正确;设b1a1=b2a2=m,其中0<m<1,则有(a12-b12)-(a22-b22)=(1-m2)(a12-a22)>0,即有a12-b12>a22-b22,则a12-a22>b12-b22,因此C错误;(a1-b1)-(a2-b2)=(1-m)·(a1-a2)>0,即有a1-b1>a2-b2,则a1-a2>b1-b2,因此D错误.故选AB.3.答案 2,22解析 设M(2cosθ,sinθ),θ∈0,π2,则S四边形AOBM=S△OAM+S△OBM=12×2×sinθ+12×2cosθ×1=sinθ+cosθ=2sinθ+π4,当θ=π4时,四边形AOBM的面积最大,此时点M的坐标是2,22.4.答案 23解析 设P(x,y),则x2a2+y2b2=1,①x2+y2=c2,②由②得x2=c2-y2,代入①式得c2-y2a2+y2b2=1⇒y2=b4c2⇒|y|=b2c.∴S△POF=12|OF|·|y|=12×c×b2c=12b2=6,∴b2=12,又b>0,∴b=23.5.答案 412
解析 由椭圆方程得F(1,0).设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>0,x2>0,则|PF|2=(x1-1)2+y12=x12-2x1+1+3-34x12=14x12-2x1+4=14(x1-4)2,易知x1<2,∴|PF|=2-12x1.同理,|QF|=2-12x2.又|PM|2=|OP|2-(3)2=x12+y12-3=14x12,∴|PM|=12x1.同理,|QM|=12x2.∴△PFQ的周长为2-12x2+2-12x1+12x2+12x1=4.解题模板 椭圆上一点到焦点的距离为焦半径,与两条焦半径有关的问题通常用椭圆的定义解题;与一条焦半径有关的问题常用焦半径长公式求解,点P(x1,y1)到左焦点F1(-c,0)的距离为|PF1|=a+ex1,点P(x1,y1)到右焦点F2(c,0)的距离为|PF2|=a-ex1.6.A 设圆柱的底面半径为r,依题意知,最长母线与最短母线所确定的截面如图所示.∴AB=DE=2r.从而CD=2rsin60°=433r.因此在椭圆中长轴长2a=433r,短轴长2b=2r,∴c2=a2-b2=43r2-r2=13r2⇒c=33r.∴e=ca=12,故选A.7.A 依题意得|PF1||PF2|=4,又|PF1|≤a+c,|PF2|≥a-c,∴|PF1||PF2|≤a+ca-c,即a+ca-c≥4,12
化简得5c≥3a⇒e=ca≥35,故e的最小值为35.故选A.8.A 如图所示,记椭圆的左焦点为F1,连接AF1,PF1,则F1(-2,0),|AF1|=1.∵|PF1|≤|PA|+|AF1|,∴2a=|PF1|+|PF|≤|AF1|+|PA|+|PF|=1+8=9,即a≤92.∵|PF1|≥|PA|-|AF1|,∴2a=|PF|+|PF1|≥|PF|+|PA|-|AF1|=8-1=7,即a≥72.∵c=2,∴292≤e=ca≤272,即49≤e≤47,∴椭圆E的离心率的取值范围是49,47.故选A.解题模板 求离心率范围问题应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e的不等式,从而求出e的范围.本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于e的不等式,最后解出e的范围.9.A 设点P的坐标为(xP,yP).由题意得12×(2a+2c)×22c=12×2c×|yP|,∴(a+c)×c=2c×|yP|≤2bc,∴a+c≤2b,∴(a+c)2≤2b2,∴0≤a2-2ac-3c2,∴(a+c)(a-3c)≥0,∴a≥3c,∴0<e≤13.故选A.10.C ①由题意得a2=5+1,b2=2,故e=1-b2a2=5-12,故椭圆x22+y25+1=1是“黄金椭圆”;②b2=ac,即a2-c2=ac,故e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;③由∠ABF=90°得(a+c)2=a2+b2+b2+c2,化简可知e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;④由|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,得(2c)2=(a-c)·(a+c),则e=55(负值舍去),故该椭圆不是“黄金椭圆”.故选C.11.解析 如图所示,设椭圆的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形AFBF1为矩形,12
∴|AB|=|FF1|=2c,|AF|+|BF|=2a.∵|AF|=2csinα,|BF|=2ccosα,∴2csinα+2ccosα=2a,∴e=1sinα+cosα=12sinα+π4.∵α∈π12,π6,∴α+π4∈π3,5π12,∴sinα+π4∈32,2+64,∴2sinα+π4∈62,1+32,∴椭圆的离心率e∈3-1,63.12.A 由题意可知D(c,2),E-75c,-25.将D,E的坐标分别代入椭圆方程得c2a2+2b2=1,49c225a2+225b2=1,解得a2=8,b2=4,所以椭圆方程为x28+y24=1,所以椭圆的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).由P在圆x2+y2=1上,设P(cosθ,sinθ),所以|PF1|·|PF2|=(cosθ+2)2+sin2θ·(cosθ-2)2+sin2θ=25-16cos2θ,所以|PF1|·|PF2|的取值范围为[3,5].故选A.13.BC 由题图可得a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,故A不正确;∵|PF|=a1-c1,|PF|=a2-c2,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;由a1-c1=a2-c2得(a1+c2)2=(a2+c1)2,即a12-c12+2a1c2=a22-c22+2a2c1,亦即b12+2a1c2=b22+2a2c1,∵b1>b2,∴a2c1>a1c2,∴c1a1>c2a2,故C正确,D不正确.故选BC.14.AC 如图所示.对于A选项,当m=0时,直线为x=0,代入椭圆方程得y=±3,所以S△FAB=2×3×1×12=3,故A正确;对于B选项,当m=0时,∠AFE=π3,当m=1时,∠AFE<π4,根据对称性,存在m使△FAB为直角三角形,故B错误;对于C选项,根据椭圆对称性可知,当m=0时,四边形FBEA的面积最大,故C正确;对于D选项,由椭圆的定义得△FAB的周长=|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-|AE|-|BE|,12
∵|AE|+|BE|≥|AB|,∴|AB|-|AE|-|BE|≤0,当且仅当AB过点E时取等号,∴4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a,即直线x=m过椭圆的右焦点E时,△FAB的周长最大,此时m=1,又-1<m<1,所以不存在m,使△FAB的周长最大,故D错误.故选AC.15.解析 (1)由题意得ca=32,12ab=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1),设P(x0,y0),M(0,yM),N(xN,0),则x02+4y02=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=y0x0-2(x-2),令x=0,得yM=-2y0x0-2,从而|BM|=|1-yM|=1+2y0x0-2;直线PB的方程为y=y0-1x0x+1,令y=0,得xN=-x0y0-1,从而|AN|=|2-xN|=2+x0y0-1.所以|AN|·|BM|=2+x0y0-1·1+2y0x0-2=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+4x0y0-x0-2y0+2=4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2=4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.12
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