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椭圆及其标准方程基础过关练题组一 椭圆的定义及其应用1.设F1、F2为定点,且|F1F2|=6,若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( )A.椭圆B.直线C.圆D.线段2.(2020北京石景山高二上期末)设椭圆x22+y2=1的两个焦点为F1,F2,且点P的坐标为22,32,则|PF1|+|PF2|=( )A.1B.2C.2D.223.(2020天津和平高二上期末)已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )A.23B.6C.43D.124.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( )A.5B.4C.3D.15.(2020北京西城高二上期末)设P是椭圆x225+y29=1上的点,且P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为 . 6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)已知F1,F2是椭圆x29+y23=1的两个焦点,过F1的直线交此椭圆于A,B两点.若|AF2|+|BF2|=8,则|AB|= . 题组二 椭圆的标准方程7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为( )A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=18.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-45,3,则此椭圆的标准方程是( )A.y225+x2=1B.x225+y2=1C.x225+y2=1或y225+x2=1D.以上都不对9.(2021重庆八中高二上月考)焦点在x轴上,焦距等于4,且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是 . 10.(2020天津一中高二上期末质量调查)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P355,-455,则椭圆的方程为 . 10
11.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,求椭圆的标准方程.题组三 椭圆标准方程的应用12.椭圆y24+x23=1的焦点坐标为( )A.(-1,0),(1,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-1),(0,1)13.(2021江西上饶高二上月考)已知椭圆x210-m+y2m-2=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于( )A.4B.5C.7D.814.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2= . 15.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.16.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点-1,255.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的左,右焦点,|F1F2|=23,P是椭圆C上的一个动点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P在第一象限,且PF1·PF2≤14,求点P的横坐标的取值范围.10
能力提升练题组一 椭圆的定义及其应用1.(2020重庆一中高二上期中,)椭圆x225+y29=1上一点M到左焦点F1的距离是2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则|ON|=( ) A.8B.4C.3D.22.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是( 易错 )A.x236+y220=1(x≠0)B.x220+y236=1(x≠0)C.x26+y220=1(x≠0)D.x220+y26=1(x≠0)3.()已知F是椭圆C:x29+y25=1的左焦点,P为C上一点,A1,43,则|PA|+|PF|的最小值为( )A.103B.113C.4D.1334.(多选)(2020山东潍坊高二上期末,)已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2是椭圆E的左,右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是( )A.点P的纵坐标为3B.∠F1PF2>π2C.△F1PF2的周长为4(2+1)D.△F1PF2的内切圆半径为32(2-1)5.(2020山东淄博一中高二上期中,)已知动圆M过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是 . 题组二 椭圆的标准方程及其应用6.(2020山东聊城高二上期末,)点P为椭圆x24+y23=1上位于第一象限内的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为M,O为坐标原点,则△PMO的面积的最大值为( )A.32B.3C.3D.327.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)“方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆”的一个必要不充分条件是( )10
A.m=7B.7<m<9C.5<m<9D.5<m<9且m≠78.(多选)()已知F1,F2为椭圆x24+y23=1的左,右焦点,M为椭圆上的动点,则下面结论正确的是( )A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|·|MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60°D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A、B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为x22+2y23=1或x26+2y29=19.(2020天津耀华中学高二上期末,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A(-2,0),B(1,2),C1,32,D1,-32四个点中恰有三个点在椭圆C上,则椭圆C的方程是 . 10.()动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,92.(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;(2)若轨迹E上的两点P,Q满足AP=5AQ,求|PQ|的值.答案全解全析基础过关练1.A 由|MF1|+|MF2|=2a=8>|F1F2|=6知,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.故选A.2.D 把点P的坐标22,32代入椭圆方程,满足椭圆方程,即点P在椭圆上.由x22+y2=1,得a=2,∴|PF1|+|PF2|=2a=22.故选D.3.C 设另一焦点为F.由F在BC边上及椭圆的定义得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=23,所以△ABC的周长为|BC|+|BA|+|CA|=(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=43.故选C.4.B 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5.∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=25,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,10
∴△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为12·|PF1|·|PF2|=12×4×2=4.5.答案 8解析 由椭圆的定义知a=5,因为点P到左焦点的距离为2,所以点P到右焦点的距离为2×5-2=8.6.答案 4解析 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+|AF2|+|BF2|=4a=12,因此|AB|=12-(|AF2|+|BF2|)=4.7.D 由题意可得a2-b2=9,0+9b2=1,解得a2=18,b2=9,故椭圆的方程为x218+y29=1.8.A 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则925m+16n=1,1625m+9n=1,解得m=1,n=125,∴椭圆的标准方程为y225+x2=1.故选A.9.答案 x236+y232=1解析 因为椭圆的焦距等于4,即2c=4,所以c=2.因为椭圆过点P(6,0),所以a=6.所以b2=a2-c2=36-4=32,所以椭圆的标准方程为x236+y232=1.10.答案 x29+y24=1解析 根据题意知|PO|=95+165=5=c,故F1(-5,0),F2(5,0).∴|PF1|+|PF2|=-5-3552+4552+5-3552+4552=4+2=6=2a,∴a=3,∴b=2,∴椭圆的方程为x29+y24=1.11.解析 ∵a=2b,b2+c2=a2,∴c2=3b2.∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,∴b2=1,∴a2=4.∴椭圆的标准方程为x24+y2=1.10
12.D 椭圆y24+x23=1的焦点在y轴上,且a=2,b=3,所以c=1,所以椭圆的焦点坐标为(0,±1).故选D.13.D 依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,解得2<m<10.由焦距为4,得c=2.由c2=a2-b2=(m-2)-(10-m)=2m-12=4,解得m=8.故选D.14.答案 120°解析 由椭圆方程知a=3,b=2,∴c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,∴|F1F2|=27.∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22×|PF1|×|PF2|=42+22-(27)22×4×2=-12,又0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.15.解析 设点M的坐标为(x,y).根据题意,得(x-2)2+y2|8-x|=12,两边平方并化简,得3x2+4y2=48,即x216+y212=1.所以点M的轨迹是椭圆.16.解析 (1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0).设椭圆M的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a2-b2=4,1a2+45b2=1,化简并整理得5b4+11b2-16=0,解得b2=1或b2=-165(舍去),所以a2=5,故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=1,所以y0=±12.又x025+y02=1,所以x02=154,解得x0=±152,所以满足条件的点P有4个,它们的坐标分别为152,12,-152,12,152,-12,-152,-12.17.解析 (1)∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=23,∴2c=23,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3.∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)设P(x,y)(x>0,y>0),F1(-3,0),F2(3,0),则PF1=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),∴PF1·PF2=(-3-x,-y)·(3-x,-y)=x2+y2-3,又x24+y2=1,即y2=1-x24,10
∴PF1·PF2=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14(3x2-8)≤14,解得-3≤x≤3,∵x>0,∴0<x≤3,∴点P的横坐标的取值范围是(0,3].能力提升练1.B 设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,如图所示.由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=10,∵|MF1|=2,∴|MF2|=8,又O是F1F2的中点,N是MF1的中点,∴|ON|=12|MF2|=4,故选B.2.B 由题意得|BC|=8,故|AB|+|AC|=12>|BC|.所以顶点A的轨迹是以B(0,-4),C(0,4)为焦点的椭圆(去掉点(0,-6),(0,6)).设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则a=6,c=4,所以b2=a2-c2=20.故椭圆的方程为y236+x220=1(x≠0).易错警示 本题隐含A、B、C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉y轴上的两点,防止漏掉x≠0导致错误.3.D 由椭圆的方程可知,a=3,c=a2-b2=2.如图所示,设F2是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知,|PF|+|PF2|=2a=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF2|=6-(|PF2|-|PA|),所以求|PA|+|PF|的最小值,也就是求|PF2|-|PA|的最大值.由图易知,当P,A,F2三点共线时,|PF2|-|PA|取得最大值,此时(|PF2|-|PA|)max=|AF2|=53,所以|PA|+|PF|的最小值为6-53=133.10
4.CD 由已知得a=22,b=2,c=2.不妨设P(m,n),m>0,n>0,则S△F1PF2=12×2c×n=3,∴n=32,∴m28+3224=1,解得m=142,∴P142,32,∴|PF1|2=142+22+94=394+214,|PF2|2=142-22+94=394-214,∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=394×2-16=72>0,∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-(2c)22|PF1|·|PF2|>0,∴∠F1PF2<π2,故A、B错误;△F1PF2的周长=2a+2c=42+4,故C正确;设△F1PF2的内切圆半径为r,则12r·(42+4)=3,∴r=32(2-1),故D正确.故选CD.5.答案 x29+y25=1解析 圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,易知其半径为6.如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),与定圆B的切点为C.由图知,定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆心的距离,即|BC|-|MC|=|BM|,又|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6,因为|MA|=|MC|,所以|BM|+|MA|=6,所以由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=3,c=2,b=a2-c2=5,所以所求圆心M的轨迹方程是x29+y25=1.6.A 设P(x,y)(x>0,y>0),因为x24+y23=1≥2x24·y23=xy3,即xy≤3,所以S△PMO=12xy≤32(当且仅当3x=2y时取等号),所以△PMO的面积的最大值为32.故选A.10
7.C 方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆的充要条件为9-m>0,m-5>0,9-m≠m-5,解得5<m<9,且m≠7.由(5,7)∪(7,9)⫋(5,9)知,“5<m<9”是“方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆”的一个必要不充分条件,故选C.8.BCD 由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,因此F1(-1,0),F2(1,0).选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误;选项B中,|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,B正确;选项C中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,令M(0,3),则tan∠F1MF22=33,∴∠F1MF22=30°,∴∠F1MF2的最大值为60°,C正确;选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,∴|x2-x12|=2,即x2=x12+2或x2=x12-2.又由题意知x124+y23=1,∴x2-24+y23=1或x2+24+y23=1,化简得x26+2y29=1或x22+2y23=1,D正确.故选BCD.9.答案 x24+y23=1解析 由于椭圆是对称图形,所以C1,32,D1,-32必在椭圆上,于是有1a2+94b2=1.①若点B(1,2)在椭圆上,则1a2+4b2=1a2+94b2+74b2>1,矛盾,所以点A(-2,0)在椭圆上,则4a2=1.②联立①②解得a=2,b=3,故椭圆的标准方程为x24+y23=1.10.解析 (1)如图,设动圆C的半径为R.10
由题意得,定圆C1的半径为42,定圆C2的半径为22,则|CC1|=42-R,①|CC2|=22+R,②①+②,得|CC1|+|CC2|=62>6=|C1C2|.由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,62为2a的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为x218+y29=1(x<2).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则AP=x1,y1-92,AQ=x2,y2-92.由AP=5AQ可得,x1,y1-92=5x2,y2-92,所以x1=5x2,y1=5y2-92×5+92=5y2-18,③由P,Q是轨迹E上的两点,得x2218+y229=1(x2<2),25x2218+(5y2-18)29=1(x2<2),解得x2=0,y2=3,代入③得,y1=-3,x1=0,所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.10
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