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本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线x-3y-1=0的倾斜角α=( )A.30°B.60°C.120°D.150°2.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是( )A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在3.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于( )A.14B.34C.14或45D.34或144.已知直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,若l1∥l2,则实数a=( )A.-1或1B.0或1C.1D.-15.已知a>0,b>0,直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,则2a+1b的最小值为( )A.2B.4C.8D.96.直线l:x-2y-1=0与圆M:x2+y2-4x-6y+k=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则实数k的值为( )A.6B.23C.10D.47.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1,直线l2的方程为ax+by+r2=0,那么( )A.l1∥l2,且l2与圆O相离B.l1⊥l2,且l2与圆O相切C.l1∥l2,且l2与圆O相交D.l1⊥l2,且l2与圆O相离8.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点坐标为( )A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)11,二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列说法错误的是( )A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是0,π4∪3π4,πC.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+y-2=010.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1.现给出如下结论,其中正确的是( )A.圆O与圆C有四条公切线B.过点C(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y=5或x-y+1=0C.过点C且与圆O相切的直线方程为9x-16y+30=0D.P、Q分别为圆O和圆C上的动点,则|PQ|的最大值为13+3,最小值为13-311.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线的方程可能为( )A.2x+3y-8=0B.4x+6y+5=0C.2x+3y-5=0D.12x+18y-13=012.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是( )A.不论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上B.所有圆Ck均经过点(3,0)C.存在一条直线始终与圆Ck相切D.若k∈22,322,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为 . 14.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 . 15.若曲线C1:y=2+-x2-2x与曲线C2:(y-2)(y-kx+k)=0有四个不同的交点,则实数k的取值范围是 . 16.已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A、B两点,M是线段AB的中点,则M的轨迹方程为 ;M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为 .(本题第一空3分,第二空2分) 11,四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l过点P(-1,2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距和为零,求l的方程;(2)设直线l的斜率k>0,直线l与两坐标轴的交点分别为A、B,求△AOB面积的最小值.18.(本小题满分12分)等腰直角△ABC的直角为角C,且点C(0,-1),斜边AB所在的直线方程为x+2y-8=0.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB中点D的坐标.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.20.(本小题满分12分)已知△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,点C的坐标为(1,2).11,(1)求点A和点B的坐标;(2)过点C作直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点M、N,求△MON(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明y轴被过A,B,C三点的圆截得的弦长为定值.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,直线l:x-3y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切.(1)求圆O的方程;(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.11,答案全解全析一、单项选择题1.A 直线x-3y-1=0的斜率k=33,由斜率和倾斜角的关系可得tanα=33,∵0°≤α<180°,∴α=30°,故选A.2.A 方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0,因此方程表示的图形是一个点(1,-2),故选A.3.D 设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.由两圆相切得,|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|,∵|C1C2|=42+32=5,∴r2+1=5或|1-r2|=5⇒r2=4或r2=6或r2=-4(舍去).因此,50-a=16或50-a=36⇒a=34或a=14,故选D.4.D 当a=0时,l2的斜率不存在,l1的斜率为0,此时l1⊥l2,不合题意;当a≠0时,由l1∥l2可得a1=1a≠11,解得a=-1,故选D.5.C 因为l1⊥l2,所以(a-1)×1+1×2b=0,即a+2b=1,因为a>0,b>0,所以2a+1b=2a+1b(a+2b)=2+2+4ba+ab≥4+24ba·ab=8,当且仅当4ba=ab,即a=12,b=14时,等号成立,所以2a+1b的最小值为8.故选C.6.D 由题意知,(x-2)2+(y-3)2=13-k,则圆心为(2,3),半径r为13-k,所以圆心到直线的距离d=|2-2×3-1|1+(-2)2=5,由d2+|AB|22=r2,得5+22=13-k,解得k=4,故选D.7.A ∵点P(a,b)在圆O内部,∴a2+b2<|r|.由题意知,当l1⊥OP时,过点P的弦最短,此时kl1=-1kOP=-ab.而l2的斜率kl2=-ab,∴l1∥l2.∵圆心(0,0)到直线l2的距离d=r2a2+b2>r2|r|=|r|,∴l2与圆O相离.8.A 依题意得圆C的半径r=4212+12=4,所以圆C的方程为x2+y2=16.连接OA,OB.因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y-b22=42+b22,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点(2,0).11,二、多项选择题9.ACD 当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时也满足直线相互垂直,故A说法错误;直线的斜率k=-sinα,则-1≤k≤1,即-1≤tanθ≤1,∴θ∈0,π4∪3π4,π,故B说法正确;当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y1,此时直线方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不成立,故C说法错误;若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D说法错误,故选ACD.10.AD 设圆O的半径为r1,圆C的半径为r2.由题意得,圆心距|OC|=13>r1+r2=2+1=3,所以两圆外离,有四条公切线,A正确;与坐标轴截距相等的直线过原点或斜率为-1,故B不正确;因为点C(2,3)在圆O的外部,所以过点C与圆O相切的直线有两条,故C不正确;|PQ|的最大值等于|OC|+r1+r2=13+3,最小值为|OC|-r1-r2=13-3,故D正确.故选AD.11.BD 直线l1的方程可化为4x+6y-2=0.设l到l1的距离为d1,l到l2的距离为d2,l的方程为4x+6y+c=0(c≠-2且c≠-9),则d1=|c-(-2)|42+62,d2=|c-(-9)|42+62.依题意得d1d2=12,即d2=2d1,∴|c+9|=2|c+2|,化简得c+9=2c+4或c+9=-2c-4,解得c=5或c=-133.因此,直线l的方程为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0.故选BD.12.ACD 对于A,圆心的坐标为(k,k),满足x=y,所以圆心在直线y=x上,故A正确;对于B,(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,Δ=-4<0,无解,故B错误;对于C,易知与直线y=x平行且距离为2的直线始终与圆Ck相切,即定直线y=x±22始终与圆Ck相切,故C正确;对于D,圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,可转化为圆x2+y2=1与圆Ck有2个交点,则1<2|k|<3,解得k∈22,322∪-322,-22,故D正确.故选ACD.三、填空题13.答案 (x+3)2+(y-2)2=5解析 线段AB的中垂线方程为x=-3,代入直线x-2y+7=0,得y=2,11,故圆心C(-3,2),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=5,∴圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.14.答案 (2,4)解析 如图,设平面直角坐标系中任一点P,P到A,B,C,D的距离之和为PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC,故四边形ABCD的对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.易知直线AC的方程为y=2x,直线BD的方程为x+y-6=0,解方程组y=2x,x+y-6=0,得x=2,y=4,故填(2,4).15.答案 -4-73,-2解析 由C1:y=2+-x2-2x得(x+1)2+(y-2)2=1(y≥2),曲线C1表示以(-1,2)为圆心,1为半径的上半圆,显然直线y=2与曲线C1有两个交点,交点为半圆的两个端点,∴直线y=kx-k=k(x-1)与半圆有2个除端点外的交点,当直线y=k(x-1)经过点(0,2)时,k=2-00-1=-2,当直线y=k(x-1)与半圆相切时,|2+2k|1+k2=1,解得k=-4-73或k=-4+73(舍),所以当-4-73
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