资料简介
圆与圆的位置关系1.（2021天津静海瀛海学校高二月考）圆C1：(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2：x2+y2-4x-2y+1=0交于A，B两点，则过A，B两点的直线的方程为()A.x-y=0B.x+y=0C.x+2y-2=0D.2x-3y-1=0答案：A2.（2021山东滨州高二期末）已知圆C1：(x-3)2+(y+2)2=1，C2：(x-7)2+(y-1)2=36，则圆C1与圆C2的位置关系是()A.内切B.外切C.相交D.相离答案：A3.（2021江西南昌二中高二月考）若圆C：x2+y2=5-m与圆E：(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线，则m的值为()A.2B.3C.4D.6答案：C4.（2021内蒙古赤峰宁城蒙古族中学高二联考）若圆O1：x2+y2=m(m＞0)与圆O2：x2+y2-8x+6y-24=0有公共点，则实数m的取值范围为()A.(4,144)B.[4,144]C.[4,49]D.(4,144]答案：B5.（2020北京高二期中）圆x2+(y-1)2=1与圆(x-1)2+y2=1的公共点的个数是()A.0B.1C.2D.3答案：C6.（2021江西南昌十中高二期中）与圆C1：(x+1)2+(y-3)2=16，圆C2：x2+y2-4x+2y+4=0都相切的直线有()A.1条B.2条6
C.3条D.4条答案：C7.（多选题）（2021山东乳山一中高二月考）已知两圆x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r＞0)，则下列说法正确的是()A.若两圆外切，则r=2B.若两圆的公共弦所在直线的方程为8x-6y-37=0，则r=2C.若两圆在交点处的切线互相垂直，则r=3D.若两圆有三条公切线，则r=2答案：B;C8.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6，圆O2的圆心的坐标为(2,1)，若两圆相交于A，B两点，且|AB|=4，则圆O2的方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=6B.(x-2)2+(y-1)2=22C.(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22D.(x-2)2+(y-1)2=36或(x-2)2+(y-1)2=32答案：C解析：由题意可设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r＞0)，因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6，所以圆O1的圆心为(0,-1)，半径为6，两式相减得直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0，则圆心O1到直线AB的距离d=|r2-14|42，所以d2+(|AB|2)2=6，即(|r2-14|42)2+4=6，解得r2=6或r2=22，故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.9.要在一个矩形纸片上画出半径分别为4 cm和1 cm的两个外切圆，则该矩形面积的最小值是()A.36 cm2B.72 cm2C.80 cm2D.100 cm2答案：B解析：如图，作WG⊥SC，垂足为G，则四边形WDCG是矩形，6
∵两圆外切，∴|WS|=|SC|+|WD|=4+1=5(cm)，∵|SG|=|SC|-|GC|=4-1=3(cm)，∴|WG|=|WS|2-|SG|2=4 cm，∴矩形QHBA的长|AB|=|AD|+|DC|+|CB|=1+4+4=9(cm)，宽|BH|=4+4=8(cm)，∴矩形纸片面积的最小值=8×9=72(cm2).素养提升练10.（多选题）（2021福建永安一中高二期中）已知圆C1：(x-2 cosθ)2+(y-2 sinθ)2=1与圆C2：x2+y2=1，则下列说法正确的是()A.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切B.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线C.当θ=π6时，直线l：3x-y-1=0被圆C1截得的弦长为3D.P,Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4答案：A;C;D解析：由已知得C1(2 cosθ,2 sinθ)，C2(0,0)，r1=1,r2=1，所以|C1C2|=(2 cosθ)2+(2 sinθ)2=2=r1+r2，故两圆始终相切，所以A中说法正确，B中说法错误；当θ=π6时，C1(3,1)，所以C1到直线l的距离为|3×3-1-1|(3)2+(-1)2=12，则弦长为2×12-(12)2=3，所以C中说法正确；因为|C1C2|=2，所以|PQ|max=|C1C2|+1+1=4，所以D中说法正确.11.（多选题）（2021重庆第八中学高二期中）已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2+4x-2y+4=0相交于A、B两点，则下列说法正确的是()A.两圆有两条公切线B.直线AB的方程为y=2x+2C.线段AB的长为65D.圆O上有一动点E，圆M上有一动点F，则|EF|的最大值为5+3答案：A;D6
解析：因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A中说法正确；圆O：x2+y2=4①，圆M：x2+y2+4x-2y+4=0②，②-①得4x-2y+4=-4，即y=2x+4，所以直线AB的方程为y=2x+4，故B中说法错误；圆O：x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线AB的距离d=44+1=455，所以|AB|=2×22-(455)2=455，故C中说法错误；圆M：x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为M(-2,1)，半径为1，所以|EF|max=|OM|+2+1=5+3，故D中说法正确.12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x-y+10=0上.（1）若动圆C过点(-5,0)，求圆C的方程；（2）是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2+y2=r2外切的圆有且仅有一个？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）依题意可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25，其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.又动圆过点(-5,0),∴(-5-a)2+(0-b)2=25.联立得(-5-a)2+(0-b)2=25,a-b+10=0,解得b=0,a=-10或b=5,a=-5,故圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.（2）圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=|10|1+1=52.当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2外切的圆；当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2外切；当r满足r+5=d时，即r=52-5时，动圆C中有且仅有一个圆与圆O：x2+y2=r2外切.综上可知，存在r=52-5满足题意.13.（2021河北唐山遵化高二期中）如图，圆E与圆F（点F在点E的右侧）与x轴分别相切于A，C两点，与直线y=3x分别相切于B，D两点，且两圆外切，E(3,1).（1）求圆E与圆F的标准方程；（2）过B作直线EF的垂线l，求直线l被圆E截得的弦长.6
答案：（1）因为点E(3,1)，圆E与x轴相切于A，所以|EA|=1，即圆E的半径为1，所以圆E的方程为(x-3)2+(y-1)2=1.因为圆E与圆F（点F在点E的右侧）与x轴分别相切于A，C两点，与直线y=3x分别相切于B，D两点，且两圆外切，所以O,E,F三点共线，设圆F的半径为r，F(xF,yF)，则|EA||FC|=|OE||OF|，即1r=23+r，解得r=3，即|FC|=3，则yF=3，易知直线OE的方程为y=13x，又F在直线OE上，所以xF=33，即F(33,3)，故圆F的方程为(x-33)2+(y-3)2=9.（2）联立得(x-3)2+(y-1)2=1,y=3x,解得x=32,y=32,所以B(32,32)，又kEF=kOE=13=33，所以直线l的斜率为-1kEF=-3，所以过点B且与EF垂直的直线l的方程为y-32=-3(x-32)，即3x+y-3=0，故点E到直线l的距离d=|3×3+1-3|(3)2+12=12，所以直线l被圆E截得的弦长为212-d2=3.创新拓展练14.（2020福建泉州泉港一中高二月考）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2+8x-4y=0与圆O：x2+y2=r2(r＞0)关于直线对称.（1）求该直线的方程；（2）设圆C与圆O交于A、B两点，点P为圆O上的动点，求△ABP面积的最大值.6
命题分析本题考查了圆与圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式及点关于直线对称的性质；考查了学生的运算求解能力、转化与化归能力.答题要领（1）分别求出点O和点C的坐标，由题意知，所求的直线与直线OC垂直，且经过线段OC的中点，然后代入点斜式求解即可.（2）由（1）知直线AB的方程为2x-y+5=0，由圆O和圆C关于该直线对称可知，圆O的半径与圆C的半径相等，为25，求出弦长|AB|，要使△ABP的面积最大，只需点P到直线AB的距离最大，结合题图可知，当PO⊥AB时，△ABP的面积最大，求出此时△ABP的面积即可.详细解析（1）把圆C的方程化为(x+4)2+(y-2)2=20，所以圆心为C(-4,2)，半径为25，又O(0,0)，所以线段OC的中点为(-2,1)，所以直线OC的斜率kOC=-12.由已知条件得所求直线与直线OC垂直，且经过线段OC的中点(-2,1)，所以所求直线的方程为y-1=-1kOC⋅(x+2)，即2x-y+5=0.（2）由（1）得直线AB的方程为2x-y+5=0，所以圆心O(0,0)到直线AB的距离d=55=5，因为圆O和圆C关于该直线对称，所以圆O的半径与圆C的半径相等，为25，所以|AB|=2×(25)2-(5)2=215，要使△ABP的面积最大，只需点P到直线AB的距离最大，结合题图可知，当PO⊥AB时，△ABP的面积最大，此时点P到直线AB的距离为25+5=35，所以△ABP面积的最大值Smax=12×215×35=153.解题感悟（1）涉及圆与圆的位置关系时，注意圆的一般方程与标准方程的互化、圆与圆的位置关系的判断方法的应用.（2）涉及两圆的公共弦问题，先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.6
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