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直线与圆的位置关系基础过关练题组一 直线与圆的位置关系的判断1.(2020湖北宜昌高二上期末)直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法判断2.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)已知直线l:(x+2)m+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系一定是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定3.(2020浙江温州高二上期末)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是( )A.(0,2]B.(1,2]C.(0,2)D.(1,2)4.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定5.已知圆x2-2ax+y2=0(a>0)与直线x-3y+3=0相切,则a= . 题组二 圆的切线与弦长问题6.(2020浙江杭州七县区高二上期末)直线y=x+1被圆x2+y2=2截得的弦长为( )A.2B.22C.6D.267.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为( )A.-1B.-2C.-4D.-318.已知圆x2+y2=9的一条弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为( )A.y-2=0B.x+2y-5=0C.2x-y=0D.x-1=09.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为( 易错 )A.x=2或3x-4y+10=0B.x=2或x+2y-10=0C.y=4或3x-4y+10=0D.y=4或x+2y-10=010.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)过点M(-1,3)的圆x2+y2=4的切线方程为 . 11.过点P(-1,-2)引圆C:(x-1)2+(y-2)2=16的切线,则切线长为 . 题组三 直线与圆的位置关系的综合运用12.(2021江西南昌二中高二上月考)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是( )A.x+2y-3=0B.x+2y-5=0C.2x-y+4=0D.2x-y=013.如图是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2m,水面宽12m,若水面下降1m,则水面的宽为 m. 12,14.(2020北京清华大学附中高二上)已知点P是圆x2+y2=2上的动点,Q是直线l:3x-4y+15=0上的动点,则|PQ|的最小值为 . 15.(2020浙江温州高二上期末)已知圆心C在直线2x-y-2=0上的圆经过点A(-1,2)和B(3,-2),且过点P(3,-1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N.(1)求圆C的标准方程;(2)若∠MCN=90°,求直线l的方程.能力提升练题组一 直线与圆的位置关系1.(2021河北保定唐县一中高二上月考,)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )A.0<k<5b.-5<k<0c.0<k<13d.0<k<52.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(>512D.512<k≤343.()若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是(>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则4a+1b的最小值是( )A.9B.4C.12D.1411.(2020山东济宁高二上期中,)已知AB为圆C:(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上的任意一点,则PA·PB的最小值为( )A.1B.2C.2D.2212.()已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )A.3B.212C.22D.213.()过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是 . 12,14.(2019江苏镇江高二上期中,)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船,正沿北偏西α(α为锐角)角方向航行,速度大小为40km/h.已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响.(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值;(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续的时间.15.()在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.16.(2021重庆八中高二上月考,)已知圆C的方程为(x-2)2+y2=25.(1)设点M-1,32,过点M作直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程;(2)设P是直线x+y+6=0上的点,过点P作圆C的切线PD,PE,切点为D,E.求证:经过D,P,C三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.答案全解全析基础过关练1.B 圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,∴圆心为(1,0),半径r=1.因此圆心到直线的距离d=|3+0+2|32+42=1=r,∴直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0相切,故选B.2.A 由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|=(-2)2+12=5<6=r.故A点在圆C的内部,从而直线l与圆C一定相交,故选A.3.C 由题得圆心到直线的距离d=|1+1|12+(-1)2>m,所以m<2,因为m>0,所以0<m<2.故选c.12,4.b>R2,∴圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离d=|-R2|x02+y02<r,∴直线x0x+y0y=r2与圆相交.故选b.5.答案 3="">0,所以a=3.6.C 由圆x2+y2=2,可得圆心为(0,0),半径为2,∴圆心到直线y=x+1的距离d=|0-0+1|12+(-1)2=22,故弦长为2(2)2-222=6,故选C.7.C 圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,∴圆心为(1,-2).设圆心到直线的距离为d,则d=|1+2-3|2=0,因此弦长6就是直径2r,∴r=3.∴r2=5-m=9⇒m=-4,故选C.8.B 当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心为(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.9.A 由22+42=20>4,得点P在圆外.当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,∴|-2k+4|1+k2=2,解得k=34.故所求切线方程为3x-4y+10=0.当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.故选A.易错警示 切线的斜率存在时,设过点P的圆的切线斜率为k,写出点斜式方程再化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质,由点到直线的距离公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所设切线方程即可.切线斜率不存在时,直接验证直线方程是否满足条件即可.本题要注意到点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.10.答案 x-3y+4=0解析 ∵(-1)2+(3)2=4,∴M点在圆x2+y2=4上,因此k切·kOM=-1,即k切·3-0-1-0=-3,12,∴k切=33,又切线过点M(-1,3),∴切线方程为y-3=33(x+1),即x-3y+4=0.11.答案 2解析 设切点为A,则PA⊥CA,从而|PC|2=|PA|2+|CA|2,∴(-1-1)2+(-2-2)2=|PA|2+42,解得|PA|=2,即切线长为2.12.B 因为PQ的中点与圆心连成的线段垂直于PQ,所以kPQ=-1-02-0=-12,所以直线PQ的方程是y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选B.13.答案 251解析 如图,建立平面直角坐标系,设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①当水面下降1m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入①式,得x0=51,所以水面下降1m后,水面宽为251m.14.答案 3-2解析 因为圆心到直线的距离d=1532+(-4)2=3>2,所以直线与圆相离,所以圆上的点到直线的距离的最小值为d-2=3-2.15.解析 (1)易求得AB的中点为(1,0),且kAB=-1,∴线段AB的中垂线方程为x-y-1=0.由x-y-1=0,2x-y-2=0,得圆心C的坐标为(1,0),∴半径|CA|=22,故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=8.(2)当∠MCN=90°时,圆心C到直线l的距离为2.若直线l的斜率存在,则设直线l:y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,∴圆心C(1,0)到直线l的距离d=|-2k-1|k2+1=2,解得k=34,12,∴直线l的方程为3x-4y-13=0.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,符合题意.综上所述,所求直线l的方程为x=3或3x-4y-13=0.能力提升练1.A 圆的方程可化为(x+2)2+y2=32,∴圆心坐标为(-2,0),半径r=3.令x=0,得y=±5,如图所示,设A(0,5),则kMA=5-00-(-1)=5.∵过M(-1,0)的直线与圆在第一象限内的部分有交点,∴0<k<5,故选a.2.d>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,所以直线必定经过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab,因为a>0,b>0,所以由基本不等式得4ba+ab≥24ba·ab=4,当且仅当a=23,b=13时,等号成立,所以4a+1b的最小值为9.11.A 如图所示,连接PC.∵PA=PC+CA,PB=PC+CB=PC-CA,∴PA·PB=(PC+CA)·(PC-CA)=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1.设圆心C到直线x-y+1=0的距离为d,则|PC|min=d=|1-0+1|2=2,∴(PA·PB)min=|PC|min2-1=2-1=1,故选A.12.D 如图所示,由题意得|PA|=|PB|,连接PC,∵|AC|=|BC|,∠PAC=∠PBC=90°,∴Rt△PAC≌Rt△PBC,∴四边形PACB的面积为△PAC面积的两倍.圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为C(0,1),半径r=1,∵四边形PACB的最小面积是2,∴△PAC面积的最小值为1,又S△PAC=12|PA|·|AC|=12|PA|≥1,∴|PA|≥2,由勾股定理得|PC|=|PA|2+r2=|PA|2+1≥5,当直线PC与直线kx+y+4=0(k>0)垂直时,|PC|取最小值5,即|PC|min=|1+4|k2+1=5,整理得k2=4,又k>0,∴k=2.12,故选D.13.答案 x2+y2=2解析 设点P的坐标为(x,y),则|PO|=x2+y2.∵∠MPN=90°,∴四边形OMPN为正方形,∴|PO|=2|OM|=2,∴x2+y2=2,即x2+y2=2.14.解析 (1)根据题意画出图形,如图所示,则圆的方程为x2+y2=1802,设过点B(200,0)的直线方程为y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,k<0,则圆心O(0,0)到直线的距离为|-200k|k2+1=180,化简得19k2=81,∴k=-919(正值舍去),∴tan(90°+α)=-919,∴-1tanα=-919,∴tanα=199,∴若轮船不被风暴影响,则角α的正切值的最大值为199.(2)若轮船航行方向为北偏西45°,则直线方程为x+y=200,则圆心O到该直线的距离d=|-200|2=1002,弦长为2r2-d2=21802-(1002)2=4031,则轮船被风暴影响持续的时间为403140=31h.15.解析 如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).则2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,12,整理得x2+y2-2y=2x-1.①又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,②∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π|PA|22+π|PB|22+π|PO|22=π4(|PA|2+|PB|2+|PO|2),∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112π,最小值为92π.16.解析 (1)根据题意,可得圆心C(2,0),半径r=5,①若直线l的斜率不存在,即l:x=-1,代入圆的方程(x-2)2+y2=25,可得y=±4,此时|AB|=8,符合题意;②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-32=k(x+1),即2kx-2y+3+2k=0.设圆心C到直线l的距离为d,因为|AB|=8,所以2r2-d2=225-d2=8,解得d=3,所以d=|4k-0+3+2k|4+4k2=3,解得k=34,所以直线l的方程为y-32=34(x+1),即3x-4y+9=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或3x-4y+9=0.(2)由点P是直线x+y+6=0上的点,设点P(m,-m-6),根据切线的性质,可得DC⊥PD,所以经过D,P,C三点的圆为以PC为直径的圆,则圆的方程为(x-2)(x-m)+y(y+m+6)=0,整理得(x2+y2-2x+6y)+m(y-x+2)=0,令x2+y2-2x+6y=0,y-x+2=0,解得x=2,y=0或x=-2,y=-4,即经过D,P,C三点的圆必经过定点(2,0),(-2,-4).12</k<5,故选a.2.d></r,∴直线x0x+y0y=r2与圆相交.故选b.5.答案></m<2.故选c.12,4.b></k≤343.()若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是(></k<5b.-5<k<0c.0<k<13d.0<k<52.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(>
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