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圆的一般方程基础过关练题组一 圆的一般方程1.(2021山西怀仁一中高二上月考)已知圆的方程为x2+y2+2x-4y=0,则圆的半径为( )A.3B.5C.3D.42.(2019北京丰台高一期末)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为( )A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=03.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是( )A.(x+3)2+(y-2)2=12B.(x-3)2+(y+2)2=12C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=24.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为 .易错 5.(2021山东新泰中学高二上月考)已知△ABC的顶点C(2,-8),直线AB的方程为y=-2x+11,AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0.(1)求顶点A和B的坐标;(2)求△ABC外接圆的一般方程.题组二 圆与二元二次方程6.(2021重庆八中高二上月考)已知m是实数,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为( )A.(-∞,20)B.(-∞,5)C.(5,+∞)D.(20,+∞)7.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是( )A.一个圆B.只有当a=0时,才能表示一个圆C.一个点D.a,b不全为0时,才能表示一个圆8.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,则该圆的圆心在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8
9.下列方程分别表示什么图形?若表示圆,写出圆心和半径.(1)x2+y2+5x-3y+1=0;(2)x2+y2+4x+4=0;(3)x2+y2+x+2=0.题组三 与圆有关的动点的轨迹问题10.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则P的轨迹为( )A.直线B.线段C.圆D.半圆11.已知△ABC的边AB的长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.能力提升练题组一 圆的一般方程 1.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为( )A.4πB.2πC.πD.π22.()设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹为( )A.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆B.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆C.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点-95,125和点-215,285D.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆,除去点-95,125和点-215,2853.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+52a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为( )A.-2B.0C.1D.34.()设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是 . 5.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).(1)求对角线AC所在直线的方程;8
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么?并求出轨迹方程.题组二 圆的方程的应用6.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )A.5B.6C.5-1D.5+17.(2021重庆八中高二上月考,)若平面内两定点A,B之间的距离为2,动点P满足|PB|=2|PA|,则tan∠ABP的最大值为( )A.22B.1C.2D.38.(2020浙江杭州高二上期末,)在平面直角坐标系中,Q是圆O:x2+y2=9上的动点,满足条件|MO|=2|MQ|的动点M构成集合D,则集合D中任意两点间的距离d的最大值为( )A.4B.42C.6D.129.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)过点P(-5,0)作直线（1+2m）x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,11),则|MN|的取值范围是 .10.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,AP·AQ的最大值为 . 11.()已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值.答案全解全析基础过关练1.B 将一般方程x2+y2+2x-4y=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,∴圆的半径为5.故选B.2.A 设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.依题意得D-E+F+2=0,D+4E+F+17=0,4D-2E+F+20=0,解得D=-7,E=-3,F=2.8
因此,所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选A.3.C 由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,所以(x-1)2+y2=2的圆心O1的坐标为(1,0),半径为2,故排除A,B.又易求C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O2的坐标为(-3,2),O1O2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O3的坐标为(3,-2),O1O3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.4.答案 2,94解析 因为点A(a,2)在圆的外部,所以a2+22-2a2-3×2+a2+a>0,(-2a)2+(-3)2-4(a2+a)>0,解得2<a<94.所以a的取值范围为2,94.易错警示 在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.5.解析 (1)联立y=-2x+11,x+3y+2=0,解得x=7,y=-3,所以顶点B(7,-3),因为AC⊥BH,所以kAC·kBH=-1,已知kBH=-13,所以kAC=3,所以设直线AC的方程为y=3x+b,将C(2,-8)代入得b=-14,所以直线AC的方程为y=3x-14.由y=-2x+11,y=3x-14,可得顶点A(5,1).(2)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A(5,1)、B(7,-3)和C(2,-8)三点的坐标分别代入,得5D+E+F+26=0,7D-3E+F+58=0,2D-8E+F+68=0,解得D=-4,E=6,F=-12,所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-4x+6y-12=0.6.B 由于方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线为圆,所以22+42-4m>0,解得m<5.因此,实数m的取值范围是(-∞,5).故选B.7.D (2a)2+4b2=4(a2+b2),所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a≠0或b≠0时,方程表示一个圆.8.D 方程可化为x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,方程表示的图形为圆,则-34a2-3a>0,解得-4<a<0,又圆心坐标为-a2,a,所以该圆的圆心在第四象限.8
9.解析 (1)原方程配方得x+522+y-322=152,故该方程表示以-52,32为圆心,302为半径的圆.(2)原方程配方得(x+2)2+y2=0,故该方程表示点(-2,0).(3)原方程配方得x+122+y2=-74,无实数解,∴该方程不表示任何图形.10.C 设点P的坐标为(x,y),∵A(-2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,∴(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,两边平方得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即(x-2)2+y2=4.∴P的轨迹为圆.故选C.11.解析 以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点为D(x0,y0),连接AD,∴2+x2=x0,0+y2=y0.①∵|AD|=3,∴[x0-(-2)]2+(y0-0)2=9.②将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.∵点C不能在x轴上,∴y≠0.综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).能力提升练1.A 圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m2(m≠0),其圆心为(m,2m+1).依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2,∴圆的半径为2,面积为4π,故选A.2.C 如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为x2,y2,8
线段MN的中点坐标为x0-32,y0+42.由于平行四边形的对角线互相平分,所以x2=x0-32,y2=y0+42,从而x0=x+3,y0=y-4.又点N(x+3,y-4)在圆上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.当点P在直线OM上时,有x=-95,y=125或x=-215,y=285.因此所求轨迹为以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点-95,125和点-215,285.故选C.3.AB 由(3a)2+a2-452a2+a-1>0,得a<1,所以满足条件的为-2和0.故选AB.4.答案 (x-1)2+y2=2解析 设P(x,y),易知圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),设为B,半径r=1,则|PA|2+r2=|PB|2,∴|PB|2=2.∴点P的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.∴点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.5.解析 (1)由两点式可知,对角线AC所在直线的方程为y-2-2-2=x-40-4,整理得x-y-2=0.(2)设G为外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G0+42,-2+22,即(2,0),设r为外接圆的半径,则r=12|AC|,而|AC|=(4-0)2+(2+2)2=42,∴r=22.∴外接圆方程为(x-2)2+y2=8.(3)设P点坐标为(x0,y0),线段PN的中点M的坐标为(x,y),则x=x0-22,y=y02,∴x0=2x+2,y0=2y,①∵点P为外接圆上一点,∴(x0-2)2+y02=8,将①代入并整理,得x2+y2=2,∴轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.8
6.D 由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,因此圆心为C(-1,m),半径r=m2+4m+5=(m+2)2+1≥1,当且仅当m=-2时,半径最小,则面积也最小,此时圆心为C(-1,-2),半径r=1,因此圆心到坐标原点的距离d=(-1-0)2+(-2-0)2=5>r,即原点在圆C外,所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=5+1.故选D.7.B 以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),∵|PB|=2|PA|,∴(x-1)2+y2(x+1)2+y2=2,整理得x2+6x+y2+1=0⇒(x+3)2+y2=8,即动点P的轨迹是以(-3,0)为圆心,22为半径的圆,当点P在如图所示的P1,P2位置时,tan∠ABP的值最大,tan∠ABP=22|PB|=2242-8=1.故选B.8.D 设Q(x0,y0),可得x02+y02=9.设M(x,y),由|MO|=2|MQ|,可得|MO|2=4|MQ|2,即x2+y2=4[(x-x0)2+(y-y0)2],化简可得x2+y2-8x03x-8y03y+12=0,可得M的轨迹是以43x0,43y0为圆心,2为半径的圆.由圆的对称性可得,当集合D中任意两点间的距离d最大时,该两点关于原点对称,此时dmax=2×43×3+2=12,故选D.9.答案 [13-10,13+10]解析 由直线(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0,令2x-y-4=0,x-y-3=0,解得x=1,y=-2,所以直线过定点(1,-2),设为Q.因为M为垂足,所以△PQM为直角三角形,斜边为PQ,所以M在以PQ为直径的圆上运动,由点P(-5,0)可知以PQ为直径的圆的圆心坐标为(-2,-1),设为C,半径r=(-5-1)2+(0+2)22=10,则|MN|的取值范围为|CN|-r≤|MN|≤|CN|+r,又因为|CN|=(-2-3)2+(-1-11)2=13,所以|MN|的取值范围是[13-10,13+10].10.答案 28
解析 连接OQ,OP.设∠BOQ=α,则∠AOP=2α,且α∈[0,π].依题意得Q(cosα,sinα),P(-cos2α,-sin2α),∴AP·AQ=(-cos2α+1,-sin2α)·(cosα+1,sinα)=(-cos2α+1)(cosα+1)-sin2αsinα=1-cos2α=2sin2α≤2,当且仅当α=π2时,等号成立.故答案为2.11.解析 易求线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.由y=-x+3,x+3y-15=0,解得x=-3,y=6,即圆心C为(-3,6),则半径r=(-3+1)2+62=210.又|AB|=(3+1)2+42=42,所以圆心C到AB的距离d=(210)2-(22)2=42.所以点P到AB的距离的最大值为42+210.所以△PAB的面积的最大值为12×42×(42+210)=16+85.8
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