资料简介
两条直线平行和垂直的判定基础过关练题组一 两条直线平行1.过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线与直线y=3的位置关系是( )A.相交B.平行C.重合D.以上都不对2.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是( 易错 )A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合3.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是( )A.13B.-13C.2D.-24.(多选)l1、l2为两条直线,则下列说法中正确的是( )A.若直线l1与l2的斜率相等,则l1∥l2B.若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等C.若直线l1,l2的斜率均不存在,则l1∥l2D.若两直线的斜率都存在且不相等,则两直线不平行题组二 两条直线垂直5.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与斜率为-23的直线垂直,则实数a的值是( )A.-23B.-32C.23D.326.已知两条直线l1,l2的斜率是方程3x2+mx-3=0(m∈R)的两个根,则l1与l2的位置关系是( )A.平行B.垂直C.可能重合D.无法确定7.下列条件中,使得l1⊥l2的是( )①l1的斜率为-23,l2经过点A(1,1),B0,-12;②l1的倾斜角为45°,l2经过点P(-2,-1),Q(3,-5);③l1经过点M(1,0),N(4,-5),l2经过点R(-6,0),S(-1,3).A.①②B.①③C.②③D.①②③8.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为 . 题组三 两条直线平行和垂直的应用9,9.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是( )A.19B.194C.5D.410.在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是( )A.(-3,1)B.(4,1)C.(-2,1)D.(2,-1)11.已知点A(-3,-2),B(6,1),点P在y轴上,且∠BAP=90°,则点P的坐标是 . 12.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+22),B(0,2-22),C(4,2),则△ABC是 .(填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”) 13.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,求证:BF⊥AE.14.已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判断平行四边形ABCD是不是菱形.9,能力提升练题组一 直线的平行与垂直1.()已知直线l与过点M(-3,2),N(2,-3)的直线l'垂直,则直线l的倾斜角是( )A.π3B.2π3C.π4D.3π42.()直线l1过点A(m,1)和点B(-1,m),直线l2过点C(m+n,n+1)和点D(n+1,n-m).则直线l1与l2的位置关系是( )A.重合B.平行C.垂直D.无法确定3.(多选)()若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面结论中正确的是( )A.AB∥CDB.AB⊥ADC.|AC|=|BD|D.AC∥BD4.()已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),则四边形MNPQ的形状为 . 5.()如图,在平面直角坐标系中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.题组二 直线平行与垂直的综合应用6.()已知A(1,2),B(-1,0),C(2,-1),若存在一点D满足CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标为( )A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(2,3)D.(-2,3)7.()已知△ABC的两个顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为( )A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)8.()在平面直角坐标系中,矩形OABC,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围为 . 9,9.()如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5m,宽AB=3m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直?深度解析10.(2021山东枣庄八中高二上月考,)在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(4,3),C(1,-3),且AM=tAB(t∈R).(1)若CM⊥AB,求t的值;(2)当0≤t≤1时,求直线CM的斜率k的取值范围.9,答案全解全析基础过关练1.B 由题意得过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线为y=5,与直线y=3的斜率都为0且不重合,所以平行.2.D 由题意得,直线l1的斜率为tan135°=-1,直线l2的斜率为-6-(-1)3-(-2)=-1,∴直线l1与l2平行或重合.易错警示 当两直线斜率都存在时,两直线平行可以推出两直线的斜率相等;反之不成立,即两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.3.B 由a=(-5,5)得直线的斜率为5-5=-1,因此直线PQ的斜率为2m-23-(-m)=-1,解得m=-13.经检验,m=-13符合题意,故选B.4.CD 在A中,两直线平行或重合,故A错误;在B中,若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等或斜率均不存在,因此B错误;易知C、D正确.5.A 依题意得kl=1-(-1)-a-2-(a-2)=-1a,因为直线l与斜率为-23的直线垂直,所以-1a×-23=-1,解得a=-23,故选A.6.B 由方程3x2+mx-3=0,知Δ=m2-4×3×(-3)=m2+36>0恒成立,故方程有两个相异实根,即l1与l2的斜率k1,k2均存在,且不相等.设方程的两根分别为x1,x2,则k1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2,故选B.7.B ①中,易求得l2的斜率为-12-10-1=32,32×-23=-1,故l1⊥l2;②中,l1的斜率为tan45°=1,l2的斜率为-5-(-1)3-(-2)=-45,1×-45≠-1,故l1与l2不垂直;③中,l1的斜率为-5-04-1=-53,l2的斜率为3-0-1-(-6)=35,-53×35=-1,故l1⊥l2.故①③正确.故选B.8.答案 -1解析 由题意得kPQ=3-a-b3-b-a=1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.9.B 由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补,又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即4-03-2·4-y3-0=-1,解得y=194.故选B.10.A 由题意得,kOA=1,kAB=-12,kOB=0.设第四个顶点为C,当点C的坐标为(-3,1)时,kOC=-13≠kAB,所以四边形OBAC不是平行四边形;当点C的坐标为(4,1)时,kAC=0=kOB,kBC=1=kOA,所以四边形OBCA是平行四边形,同理可验证点C坐标为(-2,1)或(2,-1)时,满足题意.故选A.9,11.答案 (0,-11)解析 设P(0,y),由∠BAP=90°知,kAB·kAP=1-(-2)6-(-3)×y+23=y+29=-1,解得y=-11.所以点P的坐标是(0,-11).12.答案 直角三角形解析 因为AB边所在直线的斜率kAB=2-22-(2+22)0-2=22,CB边所在直线的斜率kCB=2-22-20-4=22,AC边所在直线的斜率kAC=2-(2+22)4-2=-2,所以kCB·kAC=-1,所以CB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.13.证明 建立平面直角坐标系,如图所示,则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),所以kAE=24=12,kBF=4-02-4=-2.又kAE·kBF=12×(-2)=-1,所以AE⊥BF.14.解析 (1)设D(a,b),∵四边形ABCD为平行四边形,∴kAB=kCD,kAD=kBC,∴0-25-1=b-4a-3,b-2a-1=4-03-5,解得a=-1,b=6.∴D(-1,6).(2)∵kAC=4-23-1=1,kBD=6-0-1-5=-1,∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD为菱形.能力提升练1.C 设直线l与直线l'的斜率分别为k,k',∵直线l'过点M(-3,2),N(2,-3),∴直线l'的斜率k'=2-(-3)-3-2=-1,由l⊥l'得,k·k'=-1,∴k=1,∵直线l的倾斜角α满足tanα=1,α∈[0,π),∴α=π4,故选C.2.C ①当m=1时,直线l1过点A(1,1)和点B(-1,1),直线l2过点C(1+n,n+1)和点D(n+1,n-1).9,此时直线l1的斜率k1=0,直线l2的斜率不存在,因此l1⊥l2.②当m=-1时,直线l1过点A(-1,1)和点B(-1,-1),直线l2过点C(-1+n,n+1)和点D(n+1,n+1).此时直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率k2=0,因此l1⊥l2.③当m≠±1时,直线l1的斜率k1=m-1-1-m,直线l2的斜率k2=-m-11-m.此时k1·k2=-1,∴l1⊥l2.综上可知,直线l1与l2的位置关系是垂直,故选C.3.ABC kAB=-4-26+4=-35,kCD=12-62-12=-35,且C不在直线AB上,∴AB∥CD,故A正确;又∵kAD=12-22+4=53,∴kAB·kAD=-1,∴AB⊥AD,故B正确;∵AC=(16,4),BD=(-4,16),∴|AC|=417,|BD|=417,∴|AC|=|BD|,故C正确;又kAC=6-212+4=14,kBD=12+42-6=-4,∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,故D错误.故选ABC.4.答案 矩形解析 ∵kMN=1-(-1)1-3=-1,kPQ=2-02-4=-1,且P不在直线MN上,∴MN∥PQ.又∵kMQ=2-12-1=1,kNP=0-(-1)4-3=1,且N不在直线MQ上,∴MQ∥NP,∴四边形MNPQ为平行四边形.又∵kMN·kMQ=-1,∴MN⊥MQ.∴平行四边形MNPQ为矩形.5.证明 由题意得,直线BP的斜率为-pb,直线AC的斜率为-ac,∵BE⊥AC,∴-pb-ac=-1,即pa=-bc.又直线CP的斜率为-pc,直线AB的斜率为-ab,∴-pc-ab=pabc=-bcbc=-1,9,∴CF⊥AB.6.D 设D(x,y),由CD⊥AB,且CB∥AD,知kCD·kAB=-1,kCB=kAD,则y-(-1)x-2·0-2-1-1=-1,-1-02-(-1)=y-2x-1,解得x=-2,y=3,所以D(-2,3).故选D.7.A 设A的坐标为(x,y),由已知得,AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,所以kAH·kBC=-1,kBH·kAC=-1,即y-2x+3×-14=-1,-15×y-3x+6=-1,解得x=-19,y=-62,即顶点A的坐标为(-19,-62).8.答案 [-2,0]解析 设O点折叠后落在线段BC上的点为D点,∴点O与点D关于折痕所在直线对称,∴点O与点D的连线与折痕所在直线垂直,又kOB=12,直线OC的斜率不存在,∴O、D两点连线的斜率的取值范围是12,+∞,∴折痕所在直线的斜率k的取值范围为[-2,0),当折痕所在直线的斜率为0时,符合题意,∴k的取值范围为[-2,0].9.信息提取 ①矩形花园ABCD;②AC⊥DM,且M在BC上.数学建模 本题以实际生活中在花园铺设小路为背景,通过建立平面直角坐标系,将几何问题代数化,然后利用直线的斜率之积为-1建立方程求解.解析 如图所示,以点B为坐标原点,BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.由AD=5,AB=3,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),9,因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1,所以3-00-5·3-05-x=-1,即x=165=3.2,所以当BM=3.2m时,两条小路所在直线AC与DM相互垂直.解题模板 利用解析法解决几何问题,首先建立平面直角坐标系,写出相关点的坐标,然后利用题设中的条件列出方程(组)解决问题.10.解析 (1)由题意可得AB=(6,3),AC=(3,-3),则AM=tAB=(6t,3t),CM=AM-AC=(6t-3,3t+3),∵CM⊥AB,∴CM·AB=6(6t-3)+3(3t+3)=45t-9=0,解得t=15.(2)由0≤t≤1,AM=tAB,可得点M在线段AB上,由题中A、B、C点坐标,易求得kAC=-1,kCB=2,则由图形可知,直线CM的斜率k的取值范围为k≤-1或k≥2.9
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