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函数y＝Asin（ωx＋φ）图象与性质的应用A级——基础过关练1．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数【答案】D 【解析】因为f(x)＝－cosx，故根据余弦函数的图象可知D是错误的．故选D．2．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A．关于点对称 B．关于直线x＝对称C．关于点对称 D．关于直线x＝对称【答案】A 【解析】由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin.该函数图象关于点对称．3．(多选)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，下列命题正确的是( )A．函数y＝f(x)的最大值是4B．函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数C．函数y＝f(x)的图象关于点对称D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称【答案】AC 【解析】由f(x)＝4sin(x∈R)，知最大值为4，周期T6
＝π，故A正确，B错误；当x＝－时，f(x)＝4sin0＝0，故C正确，D错误．故选AC．4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝cosD．y＝cos【答案】D 【解析】设y＝Asin(ωx＋φ)，显然A＝1.又图象过点，，所以解得ω＝2，φ＝.所以y＝sin＝cos.5．(2020年绍兴月考)函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象，则φ的值为( )A． B． C． D．【答案】B 【解析】数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝sin＝sin＝sin(2x＋φ)．由于0＜φ＜2π，故φ＝.故选B．6．函数y＝2sin图象的对称轴方程是______．【答案】x＝＋(k∈Z) 【解析】令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．6
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.【答案】 【解析】由题意设函数周期为T，则＝－＝，所以T＝.所以ω＝＝.8．若函数f(x)＝sin(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝________.【答案】 【解析】由f(x)＝sin(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为＝，知T＝＝π，得ω＝2.又图象关于点(x0,0)成中心对称，得sin＝0,2x0＋＝kπ(k∈Z)，而x0∈，则x0＝.9．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]时的值域．解：(1)由题图知A＝2，T＝7－(－1)＝8，所以ω＝＝＝.所以f(x)＝2sin.将点(－1,0)代入，得2sin＝0.因为|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.(2)因为－1≤x≤2，则0≤x＋≤π，6
所以0≤sin≤1,0≤2sin≤2.所以f(x)的值域为[0,2]．B级——能力提升练10．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于( )A．3或0 B．－3或0C．0 D．－3或3【答案】D 【解析】由f＝f知，x＝是函数图象的对称轴，则有f＝－3或f＝3.故选D．11．(2020年南通期末)智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪声(如图)．已知某噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)的A为1，周期为2π，φ为0，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( )A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝－sinx D．y＝－cosx【答案】C 【解析】由题意知A＝1，T＝＝2π，解得ω＝1.又因为φ＝0，所以y＝sinx．通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y＝－sinx．故选C．12．(2020年重庆模拟)已知函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为.将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法中正确的是( )A．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称6
B．函数f(x)的图象关于点对称C．函数f(x)在上为增函数D．函数f(x)在上为减函数【答案】C 【解析】f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为·＝，所以ω＝1，f(x)＝sin(2x＋φ)．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin的图象．根据得到的图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝，故f(x)＝sin.令x＝－，得f(x)＝0，故f(x)的图象不关于直线x＝－对称，排除A；令x＝，得f(x)＝1为最大值，故函数f(x)的图象不关于点对称，排除B；在上，2x＋∈，f(x)单调递增，故C满足条件；在上，2x＋∈，f(x)不是减函数，排除D．故选C．13．已知函数f(x)＝2cos2x，将f(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则函数y＝f(x)＋g(x)的最小正周期是________，最大值是________．【答案】π 2＋ 【解析】函数f(x)＝2cos2x＝cos2x＋1，将f(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到g(x)＝cos＋1＝－sin2x＋1的图象，所以y＝f(x)＋g(x)＝cos2x－sin2x＋2＝cos＋2.所以函数的最小正周期为T＝＝π.当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，函数取最大值2＋.14．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)图象的对称轴方程为________________，函数的最小正周期为______．【答案】x＝＋，k∈Z π 【解析】由函数的图象可得A＝1，T＝26
＝π，因为T＝，解得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．由图象可得sin＝0，可得－＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z.又|φ|＜，得φ＝，f(x)＝sin.令2x＋＝kπ＋，解得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.C级——探究创新练15．如图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期是π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．解：(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)，得cosθ＝，因为0≤θ≤，所以θ＝.由已知周期T＝π，且ω＞0，所以ω＝＝＝2.(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，所以点P的坐标为.又因为点P在y＝2cos的图象上，且x0∈，所以cos＝，≤4x0－≤，从而得4x0－＝或4x0－＝，解得x0＝或x0＝.6
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