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二倍角的正弦、余弦、正切公式A级——基础过关练1．(2020年青岛高一期中)在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P，则sin2α＝( )A．B．C．－D．【答案】A 【解析】由题意，得cosα＝，sinα＝，可得sin2α＝2sinαcosα＝2××＝.故选A．2．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan2α的值为( )A．－B．C．－D．－2【答案】A 【解析】由题意可得，sinα＝－＝－，所以tanα＝2，所以tan2α＝＝－.故选A．3．(2020年西安高一期中)若tanα＝，则＝( )A．B．C．D．2【答案】A 【解析】因为tanα＝，所以＝＝＝＝.故选A．4．设sinα＝，2π<α<3π，则sin＋cos＝( )6
A．－B．C．D．－【答案】A 【解析】因为sinα＝，所以2＝1＋sinα＝.又2π<α<3π，所以π<<，所以sin＋cos<0，所以sin＋cos＝－.5．(多选)函数f(x)＝sinxcosx的单调递减区间可以是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】BCD 【解析】f(x)＝sinxcosx＝sin2x.由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．故选BCD．6.的值为________．【答案】 【解析】原式＝cos2－sin2＝cos＝.7．设－3π<α<－，化简的结果是________．【答案】－cos 【解析】因为－3π<α<－，－<<－，所以＝＝＝－cos.8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若sinα＝，则sinβ＝________，cos2β＝________.【答案】－ 【解析】因为角α与角β均以x6
轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称，则β＝－α＋2kπ，k∈Z，则sinβ＝－sinα＝－，所以cos2β＝1－2sin2β＝.9．(2021年杭州模拟)已知0＜α＜，0＜β＜，sinα＝，cos(α＋β)＝.(1)求sinβ的值；(2)求的值．解：(1)由0＜α＜，0＜β＜，得0＜α＋β＜π.因为sinα＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，所以cosα＝，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝.所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝.(2)由于sinα＝，cosα＝，所以tanα＝.所以＝＝2tanα＝.B级——能力提升练10．已知tanx＝2，则tan等于( )A． B．－ C． D．－【答案】C 【解析】tan＝tan＝＝＝－＝－＝＝.11．已知角α是第一象限角，且cosα＝，则＝( )A． B． 6
C． D．－【答案】C 【解析】因为cosα＝且α在第一象限，所以sinα＝.所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－，sin2α＝2sinαcosα＝，原式＝＝＝.12．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B 【解析】由sinBsinC＝cos2，得sinB·sinC＝，所以2sinBsinC＝1＋cosA．所以2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)．所以2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，所以cosBcosC＋sinBsinC＝1.所以cos(B－C)＝1.又因为－180°<B－C<180°，所以B－C＝0°，则B＝C．所以△ABC是等腰三角形．13．(2020年重庆高一期中)已知cos＝，则sin2α＝________.【答案】 【解析】由cos＝，得sin2α＝－cos＝－cos2＝1－2cos2＝1－2×2＝.14．已知sin－2cos＝0.(1)求tanx的值；(2)求的值．解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，所以tan＝2.所以tanx＝＝＝－.6
(2)由(1)知tanx＝－，所以＝＝＝＝×＝×＝.C级——探究创新练15．(2020年西宁期末)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2bcos2ωx－b(其中b＞0，ω＞0)的最大值为2，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.(1)求b，ω的值；(2)若f(α)＝，求cos的值．解：(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋2bcos2ωx－b＝sin2ωx＋bcos2ωx，由题意可得＝2，b＞0，所以b＝，f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin，因为x＝x1，x＝x2是y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.故＝，即T＝π，所以ω＝1，f(x)＝2sin，(2)因为f(α)＝2sin＝，6
所以sin＝，则cos＝cos＝sin＝.6
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