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第四章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f(x)＝6x－72的零点x0所在区间为( )A．(2,3)B．(1,2)C．(4,5)D．(3,4)【答案】A 【解析】函数f(x)＝6x－72是连续函数，f(2)＝36－72＜0，f(3)＝216－72＞0，所以f(2)f(3)＜0，由零点存在定理可知函数f(x)＝6x－72的零点x0所在区间为(2,3)．故选A．2．函数f(x)＝的值域是( )A．(－∞，1)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)∪(1，＋∞)【答案】B 【解析】因为3x＋1>1，所以0<<1，所以函数的值域为(0,1)．3．已知b＝log32，那么log38－2log36用b表示是( )A．5b－2B．b－2C．3b－(1＋b)2D．3b－b2－1【答案】B4．设a＝0.50.7，b＝0.70.5，c＝log0.75，则a，b，c的大小关系是( )A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b【答案】B 【解析】因为a＝0.50.7∈(0,1)，0.70.5＞0.50.5＞0.50.7，c＝log0.75＜0，所以c＜a＜b.故选B．5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )ABCD【答案】C 【解析】先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象．结合选项可知选C．6．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(log6
4)＝－3，则a的值为( )A．B．3C．9D．【答案】A 【解析】因为奇函数f(x)满足f(log4)＝－3，又log4＝－2<0，所以f(2)＝－f(－2)＝3.又因为当x>0时，f(x)＝ax，所以f(2)＝a2＝3，解得a＝(负值已舍去)．故选A．7．某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现，f(n)近似地满足f(n)＝，其中t＝2－，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍，则a，b的值分别为( )A．a＝1，b＝3 B．a＝1，b＝8C．a＝2，b＝3 D．a＝2，b＝8【答案】B 【解析】由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A，所以解得a＝1，b＝8.8．已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，以下结论中，正确命题编号是( )①x1＋x2＝－1 ②x3·x4＝1 ③0＜x1＋x2＋x3＋x4＜1 ④0＜x1x2x3x4＜1A．①②B．②③C．②④D．②③④【答案】C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．0<a<1B．a>1C．b<0D．b＞0【答案】AC 【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b<0.6
10．已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则( )A．f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减B．f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称【答案】AC 【解析】因为f(x)的定义域为(0,2)，f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln(－x2＋2x)＝ln[－(x－1)2＋1]，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，A正确，B错误．由于函数y＝－(x－1)2＋1，x∈(0,2)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)的图象关于直线x＝1对称，C正确．故选AC．11．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则的值可能为( )A．B．C．D．2【答案】AD 【解析】令t＝logab，则t＋＝，化简得2t2－5t＋2＝0，即(2t－1)(t－2)＝0，所以t＝或t＝2，即logab＝或logab＝2，所以a＝b2或a2＝b.因为ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2.所以b＝2，a＝4或a＝2，b＝4.所以＝2或＝.故选AD．12．对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f(x)在[m，n]上是单调的；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的和谐区间．下列函数存在和谐区间的是( )A．f(x)＝x3B．f(x)＝3－C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝lnx＋2【答案】ABD 【解析】由题意，函数在和谐区间上单调递增，且满足f(x)＝x至少有两个解．对于A选项，函数f(x)＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解－1,0,1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f(x)＝3－在(0，＋∞)上单调递增，且3－＝x有解1,2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f(x)＝ex－1在定义域上单调递增，但ex－1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f(x)＝lnx＋2在(0，＋∞)上单调递增，显然函数f(x)＝lnx＋2与函数y＝x在(0，＋∞)上有两个交点，即lnx＋2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2020年兰州高一期中)方程2x＋3x＝k的解都在[1,2)上，则k6
的取值范围为________．【答案】[5,10) 【解析】由题意，可知f(x)＝2x＋3x在[1,2)上单调递增，又f(1)＝21＋3×1＝5，f(2)＝22＋3×2＝10，所以5≤k＜10.14．若alog37＝3，blog72＝7，则a2log37＋blog74＝________.【答案】58 【解析】因为alog37＝3，blog72＝7，则a2log37＋blog74＝(alog37)2＋(blog72)2＝9＋49＝58.15．(2020年海安高一期中)已知实数a，b，c，d满足2a＝3,3b＝5,5c＝7,7d＝16，则abcd＝________.【答案】4 【解析】a＝log23＝，b＝log35＝，c＝log57＝，d＝log716＝，所以abcd＝···＝＝＝4.16．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．【答案】∪(8，＋∞)四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：(1)(0.0081)－－－1×－；(2)log3＋lg25＋lg2＋7log72＋log23·log94－lg5.解：(1)原式＝0.34×－(3×1)－1×－＝－×－＝－＝3.(2)log3＋lg25＋lg2＋7log72＋log23·log94－lg5＝log327－log33＋lg(25×2÷5)＋2＋·＝－＋1＋2－1＝.18．已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，求b的值．解：当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a＞0，且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－6
，所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A.若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则－＝3－2＋b，所以b＝－1.19．已知函数f(x)＝a·4x－a·2x＋1＋1－b(a＞0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1.(1)求a，b的值；(2)若使关于x的方程f(x)－k·4x＝0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围．解：(1)设t＝2x，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]，函数f(x)＝a·4x－a·2x＋1＋1－b(a＞0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1，即g(t)＝at2－2at＋1－b在[2,4]上有最大值9和最小值1(a＞0)．g(t)＝at2－2at＋1－b开口向上，对称轴方程为t＝1，则g(t)在[2,4]上单调递增，g(2)＝4a－4a＋1－b＝1，g(4)＝16a－8a＋1－b＝9，所以a＝1，b＝0.(2)方程f(x)－k·4x＝0在x∈[－1,1]上有解，即4x－2x＋1＋1＝k·4x在x∈[－1,1]上有解，所以k＝－＋1在x∈[－1,1]上有解．设h(x)＝－＋1，令＝m∈，所以y＝m2－2m＋1，m∈.则0≤m2－2m＋1≤1.所以h(x)∈[0,1]．故实数k的取值范围[0,1]．20．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10－12W/m2，求人听觉的声强级范围．(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？解：(1)由题知10－12≤I≤1，所以1≤≤1012.所以0≤lg≤12，所以0≤L≤120.故人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，由题知L1－L2＝20，则10lg－10lg＝20，所以lg＝lg100，所以I1＝100I2.故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．21．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．6
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax>0对x∈[0,2]恒成立，且a>0，a≠1.设g(x)＝3－ax，则g(x)在[0,2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，解得a<.所以a的取值范围是(0,1)∪.(2)假设存在这样的实数a，则由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，所以a＝，此时f(x)＝log.但x＝2时，f(x)＝log0无意义．故这样的实数a不存在．22．已知函数f(x)＝loga(ax＋1)＋bx(a＞0，且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．(1)求b的值；(2)若函数h(x)＝f(x)－x－a有零点，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴loga(a－x＋1)－loga(ax＋1)＝2bx.∴2bx＝－x.∴b＝－.(2)若函数h(x)＝f(x)－x－a有零点，则log2(ax＋1)－x＝a，则loga＝a有解．令p(x)＝loga，则函数y＝p(x)图象与直线y＝a有交点．当0＜a＜1时，∵1＋＞1，p(x)＝loga＜0，loga＝a无解．当a＞0时，∵1＋＞1，p(x)＝loga＞0，由loga＝a有解可知a＞0，故a＞1.故a的取值范围是(1，＋∞)．6
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