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函数的零点与方程的解A级——基础过关练1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )A．－，－1B．，1C．，－1D．－，1【答案】B 【解析】方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )A．2B．－2C．±2D．3【答案】C 【解析】因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，解得b＝±2.3．(2020年银川月考)下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )A．y＝logxB．y＝3x－1C．y＝x2－D．y＝－x3【答案】B 【解析】对于A，y＝logx，其定义域为(0，＋∞)，为减函数，不符合题意；对于B，y＝3x－1，在(－1，1)上有零点x＝0，且在(－1，1)单调递增，符合题意；对于C，y＝x2－，为二次函数，在(－1，0)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝－x3，在(－1，1)上单调递减，不符合题意．故选B．4．(2020年广州高一期中)函数f(x)＝4x－x2的零点所在的大致区间是( )A．B．C．D．【答案】A 【解析】因为f(x)＝4x－x2是连续函数，f(－1)＝－1＝－＜0，f5
＝2－＝＞0，f(－1)·f＜0，所以根据零点存在定理，可得f(x)的零点所在的大致区间是，A正确，同理可验证B，C，D均不正确．故选A．5．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )A．a>1B．a<1C．a<－1或a>1D．－1<a<1【答案】C 【解析】函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则f(－1)·f(1)<0，即(1－a)·(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.故选C．6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．【答案】3 【解析】因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以令f(x)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2.7．已知函数f(x)＝(x＋2)x2，则函数f(x)的零点是________；不等式f(x)≤0的解集为____________．【答案】－2，0 (－∞，－2]∪{0} 【解析】令f(x)＝(x＋2)x2＝0，解得x＝－2或0，即f(x)的零点为－2或0.由f(x)≤0，得(x＋2)x2≤0⇒或x＝0，解得x≤－2或x＝0，即不等式的解集为(－∞，－2]∪{0}．8．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．【答案】1 【解析】由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x.设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，两函数图象如图所示，有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有一个零点．9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.所以f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.5
(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0.因为4x＞0恒成立，所以方程4x＋5＝0无实数解．所以f(x)＝4x＋5不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0.所以f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.B级——能力提升练10．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )A．(0，0)，(2，0)B．(－2，0)，(0，0)，(2，0)C．－2，0，2D．0，2【答案】C 【解析】令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2.故选C．11．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上的零点( )A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有【答案】C 【解析】若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故选C．12．(多选)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是( )A．方程f(g(x))＝0有且仅有三个解B．方程g(f(x))＝0有且仅有三个解C．方程f(f(x))＝0有且仅有九个解D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解5
【答案】AD 【解析】根据函数的图象，函数f(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程f(g(x))＝0有且仅有三个解；函数g(x)在区间上单调递减，所以方程g(g(x))＝0有且仅有一个解．故选AD．13．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，则m的值(或取值范围)是________，该零点是________．【答案】－2 0 【解析】由题意知方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0时，m＝±2；当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，所以2x＝1，x＝0符合题意．当Δ>0，即m>2或m<－2时，设t2＋mt＋1＝0有两个根t1，t2且t1t2＝1.又因为t>0，所以t1>0，t2>0，则原方程有两个根，这种情况不可能．综上，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.14．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．解：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3.令f(x)＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图：需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.故b的取值范围为(4，＋∞)．C级——探究创新练15．已知函数f(x)＝有且只有3个零点，则实数t的取值范围是( )A．(－2，0] B．(0，2)C．(2，4) D．(－2，4)【答案】C 【解析】函数5
f(x)＝令f(x)＝0，可得t＝由题意可知y＝t的图象与y＝的图象有且仅有3个交点，所以t的取值范围是(2，4)．故选C．5
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