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第四章指数函数与对数函数5.1函数的零点与方程的解训练(附解析新人教A版必修第一册)

资料简介

函数的零点与方程的解A级——基础过关练1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是(  )A.-,-1B.,1C.,-1D.-,1【答案】B 【解析】方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2=,所以f(x)=2x2-3x+1的零点是,1.2.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为(  )A.2B.-2C.±2D.3【答案】C 【解析】因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0,解得b=±2.3.(2020年银川月考)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是(  )A.y=logxB.y=3x-1C.y=x2-D.y=-x3【答案】B 【解析】对于A,y=logx,其定义域为(0,+∞),为减函数,不符合题意;对于B,y=3x-1,在(-1,1)上有零点x=0,且在(-1,1)单调递增,符合题意;对于C,y=x2-,为二次函数,在(-1,0)上单调递减,不符合题意;对于D,y=-x3,在(-1,1)上单调递减,不符合题意.故选B.4.(2020年广州高一期中)函数f(x)=4x-x2的零点所在的大致区间是(  )A.B.C.D.【答案】A 【解析】因为f(x)=4x-x2是连续函数,f(-1)=-1=-<0,f5 =2-=>0,f(-1)·f<0,所以根据零点存在定理,可得f(x)的零点所在的大致区间是,A正确,同理可验证B,C,D均不正确.故选A.5.若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是(  )A.a>1B.a<1C.a<-1或a>1D.-1<a<1【答案】C 【解析】函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)·f(1)<0,即(1-a)·(1+a)<0,解得a<-1或a>1.故选C.6.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有________个.【答案】3 【解析】因为f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),所以令f(x)=0,得x=-5或x=1或x=2.7.已知函数f(x)=(x+2)x2,则函数f(x)的零点是________;不等式f(x)≤0的解集为____________.【答案】-2,0 (-∞,-2]∪{0} 【解析】令f(x)=(x+2)x2=0,解得x=-2或0,即f(x)的零点为-2或0.由f(x)≤0,得(x+2)x2≤0⇒或x=0,解得x≤-2或x=0,即不等式的解集为(-∞,-2]∪{0}.8.函数f(x)=lnx+3x-2的零点个数是________.【答案】1 【解析】由f(x)=lnx+3x-2=0,得lnx=2-3x.设g(x)=lnx,h(x)=2-3x,两函数图象如图所示,有一个交点,故函数f(x)=lnx+3x-2有一个零点.9.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=-x2+2x-1;(2)f(x)=x4-x2;(3)f(x)=4x+5;(4)f(x)=log3(x+1).解:(1)令-x2+2x-1=0,解得x1=x2=1.所以f(x)=-x2+2x-1的零点为1.5 (2)因为f(x)=x2(x-1)(x+1)=0,所以x=0或x=1或x=-1,故函数f(x)=x4-x2的零点为0,-1和1.(3)令4x+5=0,则4x=-5<0.因为4x>0恒成立,所以方程4x+5=0无实数解.所以f(x)=4x+5不存在零点.(4)令log3(x+1)=0,解得x=0.所以f(x)=log3(x+1)的零点为0.B级——能力提升练10.函数f(x)=x3-4x的零点为(  )A.(0,0),(2,0)B.(-2,0),(0,0),(2,0)C.-2,0,2D.0,2【答案】C 【解析】令f(x)=0,得x(x-2)(x+2)=0,解得x=0或x=±2.故选C.11.函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点(  )A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有【答案】C 【解析】若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)<0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为二次函数,若f(x)在(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.故选C.12.(多选)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列四个命题中正确的结论是(  )A.方程f(g(x))=0有且仅有三个解B.方程g(f(x))=0有且仅有三个解C.方程f(f(x))=0有且仅有九个解D.方程g(g(x))=0有且仅有一个解5 【答案】AD 【解析】根据函数的图象,函数f(x)的图象与x轴有3个交点,所以方程f(g(x))=0有且仅有三个解;函数g(x)在区间上单调递减,所以方程g(g(x))=0有且仅有一个解.故选AD.13.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,则m的值(或取值范围)是________,该零点是________.【答案】-2 0 【解析】由题意知方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0,即m2-4=0时,m=±2;当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1不合题意,舍去,所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0,即m>2或m<-2时,设t2+mt+1=0有两个根t1,t2且t1t2=1.又因为t>0,所以t1>0,t2>0,则原方程有两个根,这种情况不可能.综上,m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.14.已知函数f(x)=x2-bx+3.(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.解:(1)由f(0)=f(4),得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3.令f(x)=0,得x2-4x+3=0,解得x1=3,x2=1,所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图:需f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.故b的取值范围为(4,+∞).C级——探究创新练15.已知函数f(x)=有且只有3个零点,则实数t的取值范围是(  )A.(-2,0]  B.(0,2)C.(2,4)  D.(-2,4)【答案】C 【解析】函数5 f(x)=令f(x)=0,可得t=由题意可知y=t的图象与y=的图象有且仅有3个交点,所以t的取值范围是(2,4).故选C.5 查看更多

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