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第四章指数函数与对数函数4第2课时对数函数图象及性质的应用训练(附解析新人教A版必修第一册)

资料简介

对数函数图象及性质的应用A级——基础过关练1.下列各式中错误的是(  )A.ln0.8>ln0.7B.log0.50.4>log0.50.6C.lg1.6<lg1.4D.0.30.8<0.30.7【答案】C 【解析】由对数函数的性质可知函数y=lgx为单调递增函数.又因为1.4<1.6,所以lg1.6>lg1.4.C错误.故选C.2.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是(  )A.(-∞,7]B.(2,7]C.[7,+∞)D.(2,+∞)【答案】B 【解析】因为lg(2x-4)≤1,所以0<2x-4≤10,解得2<x≤7.所以x的取值范围是(2,7].故选B.3.(2021年蚌埠三模)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1).若a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是(  )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b【答案】B 【解析】由f(x+1)=f(x),得f=f,f=f.因为0<<<<1,且f(x)在[0,1)上为增函数,所以f<f<f,即f<f<f,所以c<a<b.故选B.4.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上为x的减函数,则a的取值范围为(  )A.(0,1)  B.(1,2)C.(0,2)  D.[2,+∞)【答案】B 【解析】题目中隐含条件a>0,当a>0时,2-ax为减函数,故要使y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a>1,且2-ax在x∈[0,1]时恒为正数,即2-a>0,故可得1<a<2.5.(多选)设函数f(x)=logx,下列四个命题正确的是(  )A.函数f(|x|)为偶函数B.若f(a)=|f(b)|,其中a>0,b>0,a≠b,则ab=16 C.函数f(-x2+2x)在(1,3)上为单调递增函数D.若0<a<1,则|f(1+a)|<|f(1-a)|【答案】ABD 【解析】f(x)=logx,x>0.函数f(|x|)=log|x|,因为f(|-x|)=f(|x|),所以f(|x|)为偶函数,A正确;若f(a)=|f(b)|,其中a>0,b>0,因为a≠b,所以f(a)=|f(b)|=-f(b),所以loga+logb=log(ab)=0,所以ab=1,B正确;函数f(-x2+2x)=log(-x2+2x)=log[-(x-1)2+1],由-x2+2x>0,解得0<x<2,所以函数的定义域为(0,2),因此在(1,3)上不具有单调性,C不正确;若0<a<1,所以1+a>1>1-a,所以f(1+a)<0<f(1-a),故|f(1+a)|-|f(1-a)|=-f(1+a)-f(1-a)=-log(1-a2)<0,即|f(1+a)|<|f(1-a)|,D正确.故选ABD.6.比较大小:(1)log22________log2;(2)log8π________logπ8.【答案】(1)> (2)< 【解析】(1)因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且2>,所以log22>log2.(2)因为函数y=log8x为定义域上的增函数,且π<8,所以log8π<log88=1.同理1=logππ<logπ8,所以log8π<logπ8.7.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.【答案】 【解析】因为y=log5x与y=2x+1均为定义域上的增函数,故函数f(x)=log5(2x+1)是其定义域上的增函数,所以函数f(x)的单调增区间是.8.(2021年上海高一检测)设f(x)=lgx,若f(1-a)-f(a)>0,则实数a的取值范围为________.【答案】 【解析】f(x)=lgx在(0,+∞)上单调递增,因为f(1-a)-f(a)>0,所以1-a>a>0,所以a∈.9.(2021年佛山高一期末)设函数f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.6 (1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在区间上的值域.解:(1)因为f(x)=loga(1+x)+loga(3-x),所以f(1)=loga2+loga2=loga4=2,解得a=2.又因为所以x∈(-1,3).所以f(x)的定义域为(-1,3).(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4].当x∈(-1,1]时,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,f(x)单调递减.所以f(x)在上的最大值是f(1)=log24=2.又因为f(0)=log23,f=log2,f-f(0)=log2-log23=log2>0,所以f(0)<f.所以f(x)在上的最小值是f(0)=log23.所以f(x)在区间上的值域是[log23,2].B级——能力提升练10.已知a=log23.4,b=log43.6,c=log30.3,则(  )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b【答案】A 【解析】因为a=log23.4>1,0<b=log43.6<1,c=log30.3<0,所以a>b>c.故选A.11.(2020年龙岩高一期中)已知函数f(x)=loga+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(m,n),则函数g(x)=logm(x2-2nx-5)的单调递增区间是(  )A.(-∞,-1)B.(-∞,2)C.(2,+∞)D.(5,+∞)【答案】D 【解析】对于f(x)=loga+2(a>0,且a≠1),令x-=1,得x=,y=2,所以图象恒过定点.再根据它的图象经过定点P(m,n),得m=,n6 =2,则g(x)=logm(x2-2nx-5)=log(x2-4x-5).由x2-4x-5>0,得x<-1或x>5.易知h(x)=x2-4x-5在(-∞,-1)上单调递减,在(5,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可知g(x)的增区间为(5,+∞).故选D.12.(2021年杭州模拟)若定义运算f(a*b)=则函数f(log2(1+x)*log2(1-x))的值域是(  )A.(-1,1)B.[0,1)C.[0,+∞)D.[0,1]【答案】B 【解析】因为f(a*b)=所以y=f(log2(1+x)*log2(1-x))=当0≤x<1时,y=log2(1+x)在[0,1)上为增函数,所以y∈[0,1).当-1<x<0,y=log2(1-x)在(-1,0)上为减函数,所以y∈(0,1).所以y∈[0,1),故f(log2(1+x)*log2(1-x))的值域为[0,1).故选B.13.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=________.【答案】4 【解析】因为a>1,所以f(x)=logax在[a,2a]上递增,所以loga(2a)-logaa=,即loga2=,所以a=2,解得a=4.14.已知函数f(x)=loga(ax2-x).(1)若a=,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围.解:(1)当a=时,易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).易知y=x2-x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故函数f(x)=loga(ax2-x)=log在(-∞,0)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.(2)令g(x)=ax2-x,则g(x)图象的对称轴为x=.又f(x)在[2,4]上单调递增,则6 ①当a>1时,有≤2,解得a>1.又因为g(x)在[2,4]上恒大于0,所以g(2)>0,所以4a-2>0,解得a>,所以a>1.②当0<a<1时,必须使g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,有≥4,解得0<a≤.又因为g(x)在[2,4]上恒大于0,所以g(4)>0,所以16a-4>0,解得a>,与0<a≤矛盾.综上,a的取值范围为(1,+∞).C级——探究创新练15.(2020年北海期末)已知函数f(x)=log的图象关于原点对称,其中a为常数.(1)求a的值;(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)+log(x-1)<m恒成立,求实数m的取值范围;(3)若关于x的方程f(x)=log(x+k)在[2,3]上有解,求k的取值范围.解:(1)函数f(x)=log的图象关于原点对称,所以f(x)+f(-x)=0,即log+log=0.所以log=0.所以×=1恒成立,即1-a2x2=1-x2,即(a2-1)x2=0恒成立.所以a2-1=0,解得a=±1.又a=1时,f(x)=log无意义,故a=-1.6 (2)当x∈(1,+∞)时,f(x)+log(x-1)<m恒成立,即log+log(x-1)<m,所以log(x+1)<m在(1,+∞)恒成立.由于y=log(x+1)是减函数,故当x=1,函数取到最大值-1,所以m≥-1,即实数m的取值范围是m≥-1.(3)f(x)=log在[2,3]上是增函数,g(x)=log(x+k)在[2,3]上是减函数,所以只需要即可保证关于x的方程f(x)=log(x+k)在[2,3]上有解.所以解得-1≤k≤1.所以当-1≤k≤1时,关于x的方程f(x)=log(x+k)在[2,3]上有解.6 查看更多

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