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第三章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列四组函数中，表示相同函数的一组是( )A．f(x)＝，g(x)＝x－1B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝x2－2，g(t)＝t2－2D．f(x)＝·，g(x)＝【答案】C 【解析】对于A，两函数的定义域不同，不是相同函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，不是相同函数；对于C，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，f(x)的定义域为{x|x≥1}，g(x)的定义域为{x|x≤－1或x≥1}，定义域不同，不是相同函数．故选C．2．函数y＝＋的定义域是( )A．B．C．D．【答案】C 【解析】由解得－≤x≤1且x≠0.故选C．3．已知函数y＝f(x＋1)定义域是[－2,3]，则函数y＝f(x－1)的定义域是( )A．[0,5]B．[－1,4]C．[－3,2]D．[－2,3]【答案】A 【解析】由题意知－2≤x≤3，所以－1≤x＋1≤4.所以－1≤x－1≤4，得0≤x≤5，即y＝f(x－1)的定义域为[0,5]．4．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )A．[－1,1]B．[－2,0]C．[0,2]D．[－2,2]【答案】D 【解析】依题意，可得或或解得－2≤a≤2.5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )A．4B．3C．2D．1【答案】B 【解析】由题意可得－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加，得2g(1)＝6，所以g(1)＝3.6．(2021年昆明期中)长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少7
时，面积达到最大，此时x的值为( )A．B．1C．D．2【答案】B 【解析】由题意，S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大．7．已知幂函数f(x)＝xm2－4m的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则整数m＝( )A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C 【解析】由题意可得幂函数f(x)＝xm2－4m为偶函数，所以m2－4m为偶数．又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－4m<0，解得0<m<4，故m＝2.8．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．c<b<aB．b<a<cC．b<c<aD．a<b<c【答案】B 【解析】因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f.又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(2)<f<f(3)，即b<a<c.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是( )A BCD 【答案】AD 【解析】A，D都满足函数的定义；在B中，当x＝0时有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性；在C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性．故选AD．10．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是( )A．y＝|2x|B．y＝1－x27
C．y＝－D．y＝2x2＋3【答案】AD 【解析】对于A，y＝|2x|，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，y＝1－x2，是二次函数，在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；对于C，y＝－，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；对于D，y＝2x2＋3，为二次函数，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意．故选AD．11．(2021年汕头模拟)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，则( )A．f(0)＝1B．f(1)＝0C．若x>0，则f(x)<0D．若x<0，则f(x)>1【答案】ABD 【解析】由y＝f(x＋1)的图象知y＝f(x)的图象如图所示．∴A正确，B正确，C不正确，D正确．12．定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立的是( )A．f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)B．f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)C．f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a)D．f(a)＋f(－b)＞g(b)－g(－a)【答案】AC 【解析】由g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合得，当a＞b＞0时，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)．又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．[f(b)－f(－a)]－[g(a)－f(－b)]＝f(b)－f(－a)－g(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝f(b)＋f(a)－f(a)＋f(b)＝2f(b)＜2f(0)＝0，即f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)，A正确，B错误；[f(a)＋f(－b)]－[g(b)－g(－a)]＝f(a)＋f(－b)－g(b)＋g(－a)＝f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝f(a)－f(b)－f(b)＋f(a)＝2[f(a)－f(b)]＜0，即f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a)，C正确，D错误．故选AC．7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，则常数n的值为________．【答案】0 【解析】由题意知f(0)＝0，故得m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，所以x2－2nx＋3＝x2＋2nx＋3，所以n＝0.14．若(3－2m)>(m＋1)，则实数m的取值范围为________．【答案】 【解析】因为幂函数y＝x在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以解得－1≤m＜.15.已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．【答案】－3或 【解析】f(x)的对称轴为直线x＝－1.当a>0时，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝；当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.综上，a＝或a＝－3.16．(2021年北京期中)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝____________，g(x)＝____________.【答案】x2－2 x 【解析】由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，得f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2.由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得f(x)－g(x)＝x2－x－2.又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f(x)＝(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示．7
(2)由函数f(x)的图象可知，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为[2,4]．18．已知函数f(x)＝－.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)在定义域上是减函数．(1)解：由x＋1≥0，解得x≥－1.所以函数f(x)的定义域为[－1，＋∞)．(2)证明：任取x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－)－(－)＝－＝.因为－1≤x1<x2，所以＋>0，x2－x1>0.所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以f(x)在[－1，＋∞)上是减函数．19．已知函数f(x)＝＋1，x∈R.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)求f(x)＋f的值；(3)计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f＋f＋f.解：(1)f(x)是偶函数，理由如下：f(x)的定义域为R，关于y轴对称．因为f(－x)＝＋1＝＋1＝f(x)，所以f(x)＝＋1是偶函数．(2)因为f(x)＝＋1，所以f＝＋1＝＋1，所以f(x)＋f＝3.(3)由(2)可知f(x)＋f＝3，又f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f＋f＋f＝f(1)＋＋＋＝＋3×3＝.20．某粮油超市每月按出厂价30元/袋购进种大米，根据以往的统计数据，若零售价定为42元/袋，每月可销售320袋．现为了促销，经调查，若零售价每降低一元，则每月可多销售40袋．为使超市获得最大利润，在每月的进货都销售完的前提下，求零售价及每月购进大米的数量，并求出最大利润．7
解：设零售价定为x元/袋，利润为y元，则购进大米的袋数为320＋40(42－x)，故y＝(x－30)[320＋40(42－x)]＝40(－x2＋80x－1500)＝－40(x－40)2＋4000.当x＝40时，y取最大值4000元，此时购进大米袋数为400袋．综上所述，零售价定为40元/袋，每月购进大米400袋，可获得最大利润4000元．21．(2021年合肥期末)已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数．∴m2＋m为偶数．∴函数f(x)＝x(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，且该函数在其定义域上为增函数．(2)∵函数f(x)经过点(2，)，∴＝2，即2＝2，∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴由f(2－a)＞f(a－1)，得解得1≤a＜.故m的值为1，满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为.22．已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值．(2)若函数f(x)在[－1,0]上单调递减，求实数m的取值范围．(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．解：(1)f(x)＝－2－m＋，则最大值为－m＋＝0，解得m＝0或m＝4.(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x＝，要使f(x)在[－1,0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2.故实数m的取值范围为(－∞，－2]．(3)①当≤2，即m≤4时，f(x)在[2,3]上单调递减．则即此时无解．7
②当≥3，即m≥6时，f(x)在[2,3]上单调递增．则即解得m＝6.③当2<<3，即4<m<6时，f(x)在[2,3]上先递增，再递减，所以f(x)在x＝处取最大值，则f＝－2＋m·－m＝3，解得m＝－2或6，不符合题意，舍去．综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．7
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