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第三章函数的概念与性质2.1第2课时函数的最大小值训练(附解析新人教A版必修第一册)

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函数的最大(小)值A级——基础过关练1.函数f(x)的图象如图,则其最大值、最小值分别为(  )A.f,fB.f(0),fC.f,f(0)D.f(0),f(3)【答案】B 【解析】观察函数图象,f(x)的最大值、最小值分别为f(0),f.2.(2020年南宁高一期中)函数y=在区间[2,6]上的最大值为(  )A.1B.-C.-1D.【答案】A 【解析】根据题意,函数y=在区间[2,6]上单调递减,所以当x=2时,f(x)取最大值f(2)=1.故选A.3.函数y=x2-2x+2在区间[-2,3]上的最大值、最小值分别是(  )A.10,5B.10,1C.5,1D.以上都不对【答案】B 【解析】因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],所以当x=1时,ymin=1.当x=-2时,ymax=(-2-1)2+1=10.故选B.4.(多选)已知x≥1,则下列函数的最小值为2的有(  )A.y=+B.y=4x+C.y=3x-D.y=x-1+【答案】ACD 【解析】选项A,x≥1,y=+≥2=2,当且仅当x=2时,y5 取得最小值2;选项B,y=4x+在x≥1递增,可得y的最小值为5;选项C,y=3x-在x≥1递增,可得y的最小值为2;选项D,y=x-1+=(x+1)+-2≥2-2=2,当且仅当x=1时,取得最小值2.故选ACD.5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(  )A.-1B.0C.1D.2【答案】C 【解析】因为f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.所以f(x)在[0,1]上单调递增.又因为f(x)min=-2,所以f(0)=-2,即a=-2.所以f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.6.函数y=-x2+6x+9在区间[a,b](a<b<3)上有最大值9,最小值-7,则a=________,b=________.【答案】-2 0 【解析】y=-(x-3)2+18,∵a<b<3,∴f(x)在区间[a,b]上单调递增,即-b2+6b+9=9,得b=0,-a2+6a+9=-7,得a=-2.7.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是________.【答案】(-∞,0) 【解析】令f(x)=-x2+2x,则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.又x∈[0,2],所以f(x)min=f(0)=f(2)=0.所以a<0.8.如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30m,则要使每间笼舍面积达到最大,每间笼舍的宽度应为______m.【答案】5 【解析】设笼舍的宽为xm,则笼舍的长为(30-3x)m,每间笼舍的面积为y=x(30-3x)=-(x-5)2+37.5,x∈(0,10).当x=5时,y取得最大值,即每间笼舍的宽度为5m时,每间笼舍面积达到最大.9.已知函数f(x)=,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)的单调性;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解:(1)任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-5 ===.因为x1,x2∈[3,5]且x1<x2,所以x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以函数f(x)=在[3,5]上为增函数.(2)由(1)知当x=3时,函数f(x)取得最小值,为f(3)=;当x=5时,函数f(x)取得最大值,为f(5)=.B级——能力提升练10.函数f(x)=则f(x)的最大值与最小值分别为(  )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对【答案】A 【解析】易知f(x)在[-1,1]和[1,2]上都为增函数,所以最大值为f(2)=2×2+6=10,最小值为f(-1)=-1+7=6.11.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是(  )A.[1,+∞)B.[0,2]C.(-∞,2]D.[1,2]【答案】D 【解析】f(x)=(x-1)2+2,因为f(x)min=2,f(x)max=3,且f(1)=2,f(0)=f(2)=3,所以1≤m≤2.故选D.12.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(  )A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元【答案】C 【解析】设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-2+30+,所以当x=9或x=10时,L最大为120万元.5 13.已知-x2+4x+a≥0在x∈[0,1]上恒成立,则实数a的取值范围是________.【答案】[0,+∞) 【解析】(方法一)-x2+4x+a≥0,即a≥x2-4x,x∈[0,1],设f(x)=x2-4,即a≥f(x)max.又f(x)max=f(0)=0,所以a≥0.(方法二)设f(x)=-x2+4x+a,由题意知解得a≥0.14.(2021年上饶高一期末)对于函数f(x)=x2+2x,在使f(x)≥M成立的所有实数M中,我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)=x2+2x的下确界,则对于a∈R,且a≠0,函数y=a2-4a+6的下确界为________.【答案】2 【解析】函数y=a2-4a+6=(a-2)2+2≥2,则函数y=a2-4a+6的下确界为2.15.已知函数f(x)=,其中x∈[2,+∞).(1)求f(x)的最小值;(2)若f(x)>a恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)=x++2,任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2).∵x1<x2,∴x1-x2<0.又∵x1≥2,x2>2,∴x1x2>4.∴1->0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).故f(x)在[2,+∞)上是增函数.∴当x=2时,f(x)取得最小值为.(2)∵f(x)的最小值为,∴要使f(x)>a恒成立,只需f(x)min>a,即a<.故a的取值范围为.C级——探究创新练16.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.(1)求证:f(x)是R上的单调减函数;5 (2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.(1)证明:设x1,x2是任意的两个实数,且x1<x2,则x2-x1>0.因为x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0.又因为x2=(x2-x1)+x1,所以f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1).所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0.所以f(x2)<f(x1).所以f(x)是R上的单调减函数.(2)解:由(1)可知f(x)在R上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上也是减函数.所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2,所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.5 查看更多

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