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函数的单调性A级——基础过关练1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A．1B．2C．3D．4【答案】B 【解析】由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B．2．(2020年贺州高一期中)定义在R上的函数f(x)，对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，＜0都成立，则( )A．f(2)＞f(3)B．f(2)≥f(3)C．f(2)＜f(3)D．f(2)≤f(3)【答案】A 【解析】因为对于任意的x1，x2∈R，＜0都成立，所以f(x)在R上单调递减，故f(2)＞f(3)．故选A．3．(2020年北京海淀区高一期中)下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是( )A．y＝－3x－1B．y＝C．y＝x2－4x＋5D．y＝|x－1|＋2【答案】D 【解析】由一次函数的性质可知，y＝－3x－1在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；由反比例函数的性质可知，y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，由二次函数的性质可知，y＝x2－4x＋5在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故C错误；在(1，＋∞)上，y＝|x－1|＋2＝x－1＋2＝x＋1，为增函数．故选D．4．(2020年重庆高一期中)已知函数f(x)对任意的x1，x2∈[－1,0](x1≠x2)都有＜0，f(x)的图象关于x＝－1对称，则下列结论正确的是( )A．f(－1)＜f＜fB．f＜f(－1)＜f5
C．f＜f＜f(－1)D．f＜f＜f(－1)【答案】D 【解析】由题意可知f(x)在[－1,0]上单调递减，因为f(x)的图象关于x＝－1对称，所以f(x)在[－2，－1]上单调递增，距离对称轴越近，函数值越大，所以f(－1)＞f＞f.故选D．5．(2021年石家庄模拟)已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么－1<f(x)<1的解集是( )A．(－3,0)B．(0,3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】B 【解析】由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1<f(x)<1，即f(0)<f(x)<f(3)．∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3，∴－1<f(x)<1的解集为(0,3)．6．函数f(x)＝|x－1|＋2的单调递减区间为________．【答案】(－∞，1] 【解析】f(x)＝显然函数f(x)在x≤1时单调递减．7．(2020年青岛高一期中)若函数f(x)＝在区间[m，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．【答案】(－1，＋∞) 【解析】f(x)＝＝2－，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．而f(x)在[m，＋∞)上为单调递增，所以m＞－1，所以m的取值范围是(－1，＋∞)．8．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在上单调递增，则实数a的取值范围为________．【答案】(－∞，2] 【解析】因为函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上单调递增，所以≤，即a≤2.9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，5
则f(x1)－f(x2)＝－＝.由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0.又由x1<x2，得x1－x2<0.于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．B级——能力提升练10．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定【答案】D 【解析】根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．故选D．11．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )A．y＝|x|＋1 B．y＝C．y＝－ D．y＝x＋【答案】CD 【解析】A中，y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；B中，y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；C中，y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；D中，y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．故选CD．12．(2021年西安高一期末)若函数f(x)＝与g(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )A．(0,1)B．(0,1]C．(－1,0)∩(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)【答案】B 【解析】因为f(x)＝在区间[1,2]上是减函数，所以a>0.因为函数g(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．13．y＝|x2－2x－3|的增区间是____________，值域是________．5
【答案】(－1,1)，(3，＋∞) [0，＋∞) 【解析】函数的图象如图所示．易知增区间为(－1,1)，(3，＋∞)，值域是[0，＋∞)．14．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为____________．【答案】 【解析】由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，所以不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．因为f(x)是定义在R上的增函数，所以－2x>3，解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.15．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．解：在定义域内任取x1，x2，且使x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝＝.因为a>b>0，x1<x2，所以b－a<0，x2－x1>0.只有当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，函数才单调．当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0.所以y＝f(x)在(－∞，－b)上单调递减，在(－b，＋∞)上也单调递减．所以y＝f(x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．C级——探究创新练16．设y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1.(1)求f(1)，f，f(9)的值；(2)若f(x)－f(2－x)＜2，求x的取值范围．解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0.5
令x＝y＝，则f＝f＋f，即f＝2f＝2.令x＝，y＝9，则f＝f＋f(9)，即f(1)＝f＋f(9)，则f(9)＝f(1)－f＝0－2＝－2.(2)若f(x)－f(2－x)＜2，则f(x)＜f(2－x)＋f，即f(x)＜f，因为y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，所以即解得＜x＜2.故x的取值范围为.5
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