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第二章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )A．A≤BB．A≥BC．A<B或A>BD．A>B【答案】B 【解析】因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，所以A≥B．2．设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为( )A．P<QB．P＝QC．P≥QD．P≤Q【答案】C 【解析】因为m>1，所以P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5＝Q，当且仅当m－1＝，即m＝3时等号成立．故选C．3．下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )A．{x|x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【答案】A 【解析】(方法一)取x＝－2，知符合x＜＜x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D．(方法二)由题知，不等式等价于解得x＜－1.故选A．4．已知y＝3x2＋，则y的取值范围为( )A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(0，＋∞)D．[，＋∞)【答案】D 【解析】因为x2＞0，所以3x2＋≥2＝，所以y的取值范围为[，＋∞)．故选D．5．设a，b均为正数，且a＋b＝3，则的最小值为( )7
A．2B．2＋C．1＋D．2＋2【答案】C 【解析】＝＋＝×(a＋b)×＝×≥×2×＋1＝＋1，当且仅当＝，且a＋b＝3，即a＝3－3，b＝6－3时取“＝”，所以的最小值为1＋.故选C．6．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，那么a＋b等于( )A．3B．1C．－1D．－3【答案】D 【解析】由题意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，所以故a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3.7．(2021年长春模拟)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )A．B．3C．D．1【答案】B 【解析】由题意得y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＋x2＋的最大值是( )A．B．－C．D．－【答案】D 【解析】由题意可知x1，x2为方程x2－4ax＋3a2＝0(a<0)的两根，所以x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a.则x1＋x2＋＝4a＋.因为a<0，所以－≥2＝7
，即4a＋≤－，当且仅当a＝－时取等号．故x1＋x2＋的最大值为－.故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．(2021年济南期中)已知a，b，c，d是任意实数，则以下命题中正确的是( )A．若ac2>bc2，则a>bB．若a>b，c>d，则a＋c>b＋dC．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，则>【答案】AB 【解析】A．由ac2>bc2，得c≠0，则a>b，A正确；B．由不等式的同向可加性可知B正确；C错误，当0>c>d时，不等式不成立；D错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，但<.故选AB．10．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是( )A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6aC．(a＋b)≥4D．≥4【答案】ACD 【解析】设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝2＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，故D成立．故选ACD．11．下列各小题中，最大值是的是( )A．y＝x2＋B．y＝x，x∈[0,1]C．y＝D．y＝x＋(x＞－2)【答案】BC 【解析】选项A，y没有最大值；选项B，y2＝x2(1－x2)≤2＝，所以y≤，当且仅当x＝时等号成立；选项C，x＝0时，y＝0，x≠0时，y＝≤，当且仅当x＝±1时等号成立；选项D，y＝x＋2＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＝0时等号成立．故选BC．7
12．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )A．ab有最大值B．＋有最小值1C．＋有最小值4D．a2＋b2有最小值【答案】AC 【解析】1＝a＋b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以ab有最大值，所以A正确；＋≥2，2≤，所以＋的最小值不是1，所以B错误；＋＝＝≥4，所以＋有最小值4，所以C正确；a2＋b2≥2ab,2ab≤，所以a2＋b2的最小值不是，所以D错误．故选AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如果a>b，ab<0，那么与的大小关系是________．【答案】> 【解析】－＝>0，所以>.14．已知a＞0，b＞0，且＋＝1，则＋的最小值为________．【答案】2 【解析】由题意得＝1－＝＞0，所以a－1＝.所以＋＝3(b－1)＋≥2＝2，当且仅当3(b－1)＝，即b＝1＋时，上式等号成立．15．(2021年山东模拟)已知a＞1，b＞0，且＋＝1，则a＋b的最小值是________．【答案】5 【解析】∵a＞1，∴a－1＞0.∵＋＝1，∴a＋b＝[(a－1)＋b]＋1＝[(a－1)＋b]＋1＝3＋＋≥3＋2＝5.当且仅当＝，即a＝3，b＝2时取等号，∴a＋b的最小值为5.16．(2021年绍兴模拟)设a，b，x，y均为正数且a≠b，则有＋≥7
，当且仅当＝时，等号成立．利用以上结论，可得当0＜x＜时，＋的最小值为________，此时x的值为________．【答案】25 【解析】根据已知结论，＋＝＋≥＝25，当且仅当＝，即x＝时取得最小值．四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．设a＞0，b＞0，比较＋与＋的大小．解：因为a＞0，b＞0，所以＋＝＋.根据均值不等式可得＋≥2，①＋≥2，②当且仅当a＝b时取等号．由①＋②，得＋＋＋≥2(＋)，即＋≥＋.18．解关于x的不等式：x2＋(1－m)x－m＞0，其中m∈R.解：由x2＋(1－m)x－m＞0，可得(x＋1)(x－m)＞0.当m＝－1时，解得x≠－1；当m＞－1时，解得x＜－1或x＞m；当m＜－1时，解得x＜m或x＞－1.综上所述，当m＝－1时，不等式的解集是{x|x≠－1}；当m＞－1时，不等式的解集为{x|x＜－1或x＞m}；当m＜－1时，不等式的解集为{x|x＜m或x＞－1}．19．(2021年南通期末)已知y＝(x>－2)．(1)求的取值范围；(2)当x为何值时，y取得最大值？解：(1)设x＋2＝t，则x＝t－2，t>0(x>－2)．故＝＝＝＝t＋－3≥2－3.∴≥2－3.7
(2)由题意知y>0，故欲使y最大，必有最小，此时t＝，t＝，x＝－2，y＝＝.∴当x＝－2时，y最大，最大值为.20．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形无顶虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.因为2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．(2)设每间虎笼长为xm，宽为ym.(方法一)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.因为2x＋3y≥2＝2＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时等号成立．由解得故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．(方法二)由xy＝24，得x＝.所以l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．21．已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．解：因为不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解为α＜x＜β，其中β＞α＞0，所以有α＋7
β＝－，αβ＝且a＜0，c＜0.设方程cx2＋bx＋a＝0的两根为m，n，且m＜n，则m＋n＝－＝＝＋，mn＝＝＝·，所以n＝，m＝.又因为c＜0，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.22．已知关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0.(1)m为何实数时，方程有两正实数根？(2)m为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？解：方法一：(1)由已知得解得－≤m<－1或m>1.(2)由已知得解得－1<m<1.方法二：(1)设y＝x2－2(m＋2)x＋m2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图所示，则应满足解得－≤m<－1或m>1.(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图所示．当x＝0时，y＝m2－1.由题意知m2－1<0，解得－1<m<1.7
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