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第二章一元二次函数方程和不等式3二次函数与一元二次方程不等式训练(附解析新人教A版必修第一册)

资料简介

二次函数与一元二次方程、不等式A级——基础过关练1.下列四个不等式:①-x2+x+1≥0;②x2-2x+>0;③x2+6x+10>0;④2x2-3x+4<1.其中解集为R的是(  )A.①  B.②C.③  D.④【答案】C 【解析】①显然不可能;②中Δ=(-2)2-4×>0,解集不为R;③中Δ=62-4×10<0,满足条件;④中不等式可化为2x2-3x+3<0,所对应的二次函数开口向上,显然不可能.故选C.2.不等式6x2+x-2≤0的解集为(  )A.B.C.D.【答案】A 【解析】因为6x2+x-2≤0⇔(2x-1)(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为.3.(2021年绵阳高一期末)下列等式的解集为R的是(  )A.x2+x+1<0B.x2+2x+1>0C.-x2+x+1≤0D.x2+x+1>0【答案】D 【解析】x2+x+1=2+≥>0恒成立,所以不等式x2+x+1>0的解集为R,D正确.故选D.4.(2020年黄冈高一期中)若不等式x2+ax+b<0(a,b∈R)的解集为{x|2<x<5},则a,b的值为(  )A.a=-7,b=10B.a=7,b=-10C.a=-7,b=-10D.a=7,b=10【答案】A 【解析】不等式x2+ax+b<0的解集为{x|2<x<5},则对应方程x2+ax+b=0的两个根为2和5,即解得a=-7,b=10.故选A.5.某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是50元,要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元,则x的取值范围是(  )5 A.{x|2≤x≤8}B.{x|5≤x≤8}C.{x|3≤x≤10}D.{x|5≤x≤10}【答案】C 【解析】根据题意,有2×50≥1500,即5x2-14x-3≥0,解得x≥3或x≤-.又1≤x≤10,所以3≤x≤10.6.(2020上海闵行区高一期中)若关于x的不等式x2-2x≤4-a在R上的解集为∅,则实数a的取值范围是________.【答案】a>5 【解析】不等式x2-2x≤4-a,即(x-1)2≤5-a.因为(x-1)2≥0,要使不等式在R上的解集为∅,所以5-a<0,即a>5.7.若不等式x2+ax+b<0的解集为{x|-1<x<2},则a+b=________;不等式bx2+ax+1<0的解集为________.【答案】-3  【解析】根据题意,不等式x2+ax+b>0的解集为{x|-1<x<2},则有-1和2是方程x2+ax+b=0的两个根,则有(-1)+2=-a,(-1)×2=b,解得a=-1,b=-2.a+b=-3,bx2+ax+1<0⇒-2x2-x+1<0⇒2x2+x-1>0,解得x<-1或x>,即不等式bx2+ax+1<0的解集为.8.(2020年天津高一期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>3},则ax2-bx+c>0的解集为______________.【答案】{x|-3<x<2} 【解析】关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>3},所以方程ax2+bx+c=0的实数根是-2和3,且a<0.又-=-2+3=1,=-2×3=-6,所以b=-a,c=-6a.所以ax2-bx+c>0可化为ax2+ax-6a>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2.9.解下列不等式:(1)2x2+x-3>0;(2)-4x2+4x-1≥0;(3)-4x2+3x-2<0;(4)-x2+3x-5>0.解:(1)因为Δ=12-4×2×(-3)=25>0,所以方程2x2+x-3=0有两个不等实根x1=1,x2=-.又二次函数y=2x2+x-3的图象开口向上,所以原不等式的解集为.5 (2)原不等式可化为(2x-1)2≤0,所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为4x2-3x+2>0.因为Δ=9-4×4×2=-23<0,所以方程4x2-3x+2=0无实根.又二次函数y=4x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0.所以方程x2-6x+10=0无实根.又二次函数y=x2-6x+10的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅.B级——能力提升练10.(2021年长沙高一期末)不等式x2-3|x|<0的解集为(  )A.{x|0<x<3}B.{x|-3<x<0或0<x<3}C.{x|-3<x<0}D.{x|-3<x<3}【答案】B 【解析】因为x2-3|x|<0,所以或解得0<x<3或-3<x<0.故选B.11.(2020年常州期中)“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛,当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时,t秒时弓箭距离地面的高度为x米,可由x=at-5t2确定,已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米,则可能达到的最大高度为(  )A.135米B.160米C.175米D.180米【答案】D 【解析】由题意可知x=at-5t2,将t=3,x=135代入,得135=3a-45,解得a=60,所以x=60t-5t2.根据二次函数的性质可知函数图象开口向下,对称轴为t=6,即x≤(60t-5t2)max=60×6-5×62=180.所以x的最大值为180.故选D.12.(2021年青岛三模)若不等式ax2+ax-1≤0的解集为实数集R,则实数a的取值范围为(  )A.{a|0≤a≤4}B.{a|-4<a<0}C.{a|-4≤a<0}D.{a|-4≤a≤0}【答案】D 【解析】a=0时,不等式ax2+ax-1≤0化为-1≤0,解集为实数集R;a≠0时,应满足即解得-4≤a<0.综上,实数a的取值范围是-4≤a≤0.故选D.5 13.(多选)下列命题中是假命题的有(  )A.|x|2+|x|-2=0有四个实数解B.设a,b,c是实数,若二次方程ax2+bx+c=0无实根,则ac≥0C.若x2-3x+2≠0,则x≠2D.若一元二次不等式x2+px+q<0的解集为,则不等式qx2+px+1>0的解集为{x|x<-2或x>3}【答案】AD 【解析】由|x|2+|x|-2=0,得|x|=1或|x|=-2(舍去),故方程只有两个实数解x=±1,故A是假命题;若关于x的二次方程ax2+bx+c=0无实根,则所以ac>≥0,则ac>0,可以推出ac≥0,故B是真命题;若x2-3x+2≠0,则x≠2且x≠1,可推出x≠2,故C是真命题;因为x2+px+q<0的解集为,所以x1=-与x2=是方程x2+px+q=0的两根,所以-=-p,×=q,解得p=,q=-.所以qx2+px+1>0,即-x2+x+1>0,解得-2<x<3,即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<x<3},故D是假命题.故选AD.14.(2021年黄山期末)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},则关于x的不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集为______________.【答案】{x|-3<x<5} 【解析】由题意可知a<0且-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根,所以即所以bx2+2ax-c-3b<0可化为-ax2+2ax+15a<0,即x2-2x-15<0,故所求的不等式的解集为{x|-3<x<5}.15.某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块,计划把图中矩形ABCD建设为仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上,假设AB的长度为x米.(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式;(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,则AB的长度x应在什么范围内?解:(1)根据题意得△NDC与△NAM相似,所以=,5 即=,解得AD=20-x.所以S=20x-x2(0<x<30).(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,即20x-x2≥144,化简得x2-30x+216≤0,解得12≤x≤18,所以AB的长度x的取值范围为{x|12≤x≤18}.C级——探究创新练16.(1)若关于x的不等式m2x2-2mx>-x2-x-1恒成立,求实数m的取值范围;(2)解关于x的不等式(x-1)(ax-1)>0,其中a<1.解:(1)由m2x2-2mx>-x2-x-1,得(m2+1)x2-(2m-1)x+1>0.由m2+1>0,知Δ=(2m-1)2-4(m2+1)<0,解得m>-.所以实数m的取值范围是.(2)当0<a<1时,(x-1)(ax-1)>0可化为(x-1)>0,又>1,解得x<1或x>.所以不等式的解集为.当a=0时,(x-1)(ax-1)>0可化为-(x-1)>0,解得x<1.所以不等式的解集为{x|x<1}.当a<0时,(x-1)(ax-1)>0可化为(x-1)<0,又<1,解得<x<1.所以不等式的解集为.综上,0<a<1时,不等式的解集为;a=0时,不等式的解集为{x|x<1};a<0时,不等式的解集为.5 查看更多

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