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二次函数与一元二次方程、不等式A级——基础过关练1．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )A．① B．②C．③ D．④【答案】C 【解析】①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C．2．不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )A．B．C．D．【答案】A 【解析】因为6x2＋x－2≤0⇔(2x－1)(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.3．(2021年绵阳高一期末)下列等式的解集为R的是( )A．x2＋x＋1＜0B．x2＋2x＋1＞0C．－x2＋x＋1≤0D．x2＋x＋1＞0【答案】D 【解析】x2＋x＋1＝2＋≥＞0恒成立，所以不等式x2＋x＋1＞0的解集为R，D正确．故选D．4．(2020年黄冈高一期中)若不等式x2＋ax＋b＜0(a，b∈R)的解集为{x|2＜x＜5}，则a，b的值为( )A．a＝－7，b＝10B．a＝7，b＝－10C．a＝－7，b＝－10D．a＝7，b＝10【答案】A 【解析】不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|2＜x＜5}，则对应方程x2＋ax＋b＝0的两个根为2和5，即解得a＝－7，b＝10.故选A．5．某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元，要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，则x的取值范围是( )5
A．{x|2≤x≤8}B．{x|5≤x≤8}C．{x|3≤x≤10}D．{x|5≤x≤10}【答案】C 【解析】根据题意，有2×50≥1500，即5x2－14x－3≥0，解得x≥3或x≤－.又1≤x≤10，所以3≤x≤10.6．(2020上海闵行区高一期中)若关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是________．【答案】a＞5 【解析】不等式x2－2x≤4－a，即(x－1)2≤5－a.因为(x－1)2≥0，要使不等式在R上的解集为∅，所以5－a＜0，即a＞5.7．若不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝________；不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为________．【答案】－3 【解析】根据题意，不等式x2＋ax＋b＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则有－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，则有(－1)＋2＝－a，(－1)×2＝b，解得a＝－1，b＝－2.a＋b＝－3，bx2＋ax＋1＜0⇒－2x2－x＋1＜0⇒2x2＋x－1＞0，解得x＜－1或x＞，即不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为.8．(2020年天津高一期中)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2或x＞3}，则ax2－bx＋c＞0的解集为______________．【答案】{x|－3＜x＜2} 【解析】关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2或x＞3}，所以方程ax2＋bx＋c＝0的实数根是－2和3，且a＜0.又－＝－2＋3＝1，＝－2×3＝－6，所以b＝－a，c＝－6a.所以ax2－bx＋c＞0可化为ax2＋ax－6a＞0，即x2＋x－6＜0，解得－3＜x＜2.9．解下列不等式：(1)2x2＋x－3>0；(2)－4x2＋4x－1≥0；(3)－4x2＋3x－2<0；(4)－x2＋3x－5>0.解：(1)因为Δ＝12－4×2×(－3)＝25>0，所以方程2x2＋x－3＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋x－3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.5
(2)原不等式可化为(2x－1)2≤0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为4x2－3x＋2>0.因为Δ＝9－4×4×2＝－23<0，所以方程4x2－3x＋2＝0无实根．又二次函数y＝4x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0.所以方程x2－6x＋10＝0无实根．又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.B级——能力提升练10．(2021年长沙高一期末)不等式x2－3|x|＜0的解集为( )A．{x|0＜x＜3}B．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}C．{x|－3＜x＜0}D．{x|－3＜x＜3}【答案】B 【解析】因为x2－3|x|＜0，所以或解得0＜x＜3或－3＜x＜0.故选B．11．(2020年常州期中)“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由x＝at－5t2确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为( )A．135米B．160米C．175米D．180米【答案】D 【解析】由题意可知x＝at－5t2，将t＝3，x＝135代入，得135＝3a－45，解得a＝60，所以x＝60t－5t2.根据二次函数的性质可知函数图象开口向下，对称轴为t＝6，即x≤(60t－5t2)max＝60×6－5×62＝180.所以x的最大值为180.故选D．12．(2021年青岛三模)若不等式ax2＋ax－1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为( )A．{a|0≤a≤4}B．{a|－4＜a＜0}C．{a|－4≤a＜0}D．{a|－4≤a≤0}【答案】D 【解析】a＝0时，不等式ax2＋ax－1≤0化为－1≤0，解集为实数集R；a≠0时，应满足即解得－4≤a＜0.综上，实数a的取值范围是－4≤a≤0.故选D．5
13．(多选)下列命题中是假命题的有( )A．|x|2＋|x|－2＝0有四个实数解B．设a，b，c是实数，若二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则ac≥0C．若x2－3x＋2≠0，则x≠2D．若一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，则不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|x<－2或x>3}【答案】AD 【解析】由|x|2＋|x|－2＝0，得|x|＝1或|x|＝－2(舍去)，故方程只有两个实数解x＝±1，故A是假命题；若关于x的二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则所以ac＞≥0，则ac＞0，可以推出ac≥0，故B是真命题；若x2－3x＋2≠0，则x≠2且x≠1，可推出x≠2，故C是真命题；因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两根，所以－＝－p，×＝q，解得p＝，q＝－.所以qx2＋px＋1>0，即－x2＋x＋1>0，解得－2<x<3，即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}，故D是假命题．故选AD．14．(2021年黄山期末)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，则关于x的不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集为______________．【答案】{x|－3<x<5} 【解析】由题意可知a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以即所以bx2＋2ax－c－3b<0可化为－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，故所求的不等式的解集为{x|－3<x<5}．15．某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米．(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度x应在什么范围内？解：(1)根据题意得△NDC与△NAM相似，所以＝，5
即＝，解得AD＝20－x.所以S＝20x－x2(0<x<30)．(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18，所以AB的长度x的取值范围为{x|12≤x≤18}．C级——探究创新练16．(1)若关于x的不等式m2x2－2mx＞－x2－x－1恒成立，求实数m的取值范围；(2)解关于x的不等式(x－1)(ax－1)＞0，其中a＜1.解：(1)由m2x2－2mx＞－x2－x－1，得(m2＋1)x2－(2m－1)x＋1＞0.由m2＋1＞0，知Δ＝(2m－1)2－4(m2＋1)＜0，解得m＞－.所以实数m的取值范围是.(2)当0＜a＜1时，(x－1)(ax－1)＞0可化为(x－1)＞0，又＞1，解得x＜1或x＞.所以不等式的解集为.当a＝0时，(x－1)(ax－1)＞0可化为－(x－1)＞0，解得x＜1.所以不等式的解集为{x|x＜1}．当a＜0时，(x－1)(ax－1)＞0可化为(x－1)＜0，又＜1，解得＜x＜1.所以不等式的解集为.综上，0＜a＜1时，不等式的解集为；a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；a＜0时，不等式的解集为.5
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