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基本不等式A级——基础过关练1．下列不等式中，正确的是( )A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC．≥D．x2＋≥2【答案】D 【解析】a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．(2021年哈尔滨期末)“a＞b＞0”是“ab＜”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由a＞b＞0得a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0.故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件．3．(2020年白银高一期中)当x≥3时，x＋的最小值为( )A．5B．4C．D．【答案】A 【解析】x＋＝x－1＋＋1，令t＝x－1，∵x≥3，所以t≥2，所以原式y＝t＋＋1≥5，当且仅当t＝2时等号成立，所以x＋≥5.故选A．4．(多选)已知实数a，b，判断下列不等式中哪些一定是正确的( )A．≥B．a＋≥2C．≥2D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2【答案】CD 【解析】当a＜0，b＜0时，≥不成立；当a＜0，时，a＋≥25
不成立；因为＝＋≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．5．(2021年宝鸡模拟)设x＞0，y＞0且x＋4y＝40，则xy的最大值是( )A．10B．40C．100D．400【答案】C 【解析】因为x＞0，y＞0且x＋4y＝40，所以x＋4y≥2＝4，当且仅当x＝4y时取“＝”．所以4≤40，得xy≤100.6．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．【答案】160 【解析】设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4m3，高为1m，得另一边长为m．记容器的总造价为y元，则y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．因此当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元．7.(－6≤a≤3)的最大值为________．【答案】 【解析】因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．8．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．【答案】 【解析】因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤2＝×2＝，当且仅当2x＝3y且2x＋3y＝6，即x＝，y＝1时等号成立，xy取到最大值.9．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥6.证明：因为a>0，b>0，c>0，所以＋≥2，＋≥2，＋≥2.所以＋＋≥6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时等号成立．所以＋＋≥6.5
B级——能力提升练10．若0<x<，则x的最大值为( )A．1 B．C． D．【答案】C 【解析】因为0<x<，所以1－4x2>0，所以x＝×2x×≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立．故选C．11．已知x≥，则有( )A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1【答案】D 【解析】＝＝.因为x≥，所以x－2>0，所以≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故原式有最小值为1.12．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )A．2B．4C．6D．8【答案】B 【解析】不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2＝(1＋)2≥9，所以≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.13．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是________．【答案】1 【解析】＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y5
时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.14．已知a，b均为正数，且a＋b＋3＝ab，则ab的最小值是________，a＋b的最小值是________．【答案】9 6 【解析】①由题意可得a＋b＝ab－3≥2，所以≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号，所以ab的最小值为9；②a＋b＋3＝ab≤2，所以a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，所以a＋b的最小值为6.15．(2021年株洲期中)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab＝800.蔬菜的种植面积S＝(a－4)(b－2)＝808－2(a＋2b)．S≤808－4＝648(m2)，当且仅当a＝2b，即a＝40m，b＝20m时，S最大值＝648m2.所以当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.C级——探究创新练16．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )A．≥(a＞b＞0)B．a2＋b2≥2ab(a＞b＞0)C．≤(a＞b＞0)D．≤(a＞b＞0)5
【答案】D 【解析】由图形可知OF＝AB＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b)．在Rt△OCF中，由勾股定理得CF＝＝.因为CF≥OF，所以≥(a＋b)(a＞b＞0)．故选D．5
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