首页 > 初中 > 数学 > 华东师大版九下数学27.1.3第1课时圆周角定理教案
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1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)2．能运用圆周角定理进行简单的证明或计算．(难点) 一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第二十届世界杯决赛于2022年在卡塔尔举行，共有来自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点：圆周角定理【类型一】利用圆周角定理求角的度数如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.方法总结：在圆中，若无法直接求圆周角的度数，可转化为求其所对的圆心角的度数.如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
【类型二】利用圆周角定理求长度如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC=45°，若⊙O的半径为2，求弦BC的长.解析：连接OB、OC，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理计算即可．解：连接OB、OC.∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，又OB=OC=2，∴BC=2.方法总结：利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半时，切记要考虑它们所对的弧是否是同一条.【类型三】同弦所对圆周角中的分类讨论思想已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①，连接OA，OB，在弦AB所对的优弧上任取一点C，连接CA，CB.∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°.即弦AB所对的圆周角等于30°.如图②，连接OA，OB，在弦AB所对的劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，则∠BAD＝∠BOD，∠ABD＝∠AOD.∴∠BAD＋∠ABD＝(∠BOD＋∠AOD)＝∠AOB.∵AB的长等于⊙O的半径，∴△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°.∴∠BAD＋∠ABD＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，即弦AB所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理．要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．【类型四】圆周角定理与垂径定理的综合如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，E在⊙O上．(1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半径．
解析：(1)由OD⊥AB，根据垂径定理的推论可求得＝，再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数；(2)首先设⊙O的半径为x，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝×52°＝26°；(2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋()2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半径为4.方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．三、板书设计教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周角定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.
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