首页 > 初中 > 数学 > 华东师大版九下数学26.3第1课时实物型抛物线教案
资料简介
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．（重点）2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．（难点）3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．（难点）一、情境导入某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水，连喷头在内，柱高为0.8m，如图建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=-x2+2x+．水池的半径至少为多少时才能使喷出的水流都落在水池内？二、合作探究探究点：建立二次函数模型【类型一】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立平面直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的表达式，并将点的坐标代入函数表达式，求出函数表达式；(4)利用函数表达式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；,(2)求出这条抛物线的函数表达式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数的表达式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数的表达式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意可得M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，∴点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数的表达式为y＝a(x－6)2＋6.∵函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，∴3＝a(0－6)2＋6，即a＝－.∴此函数的表达式为y＝－(x－6)2＋6＝－x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－m2＋m＋3)，D(m，－m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－m2＋m＋3)＝－m2＋18.∵此二次函数的图象开口向下，∴当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值，为18.方法总结：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.【类型二】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.将点C的坐标代入表达式，得左边＝右边，即点C,在抛物线上，∴此球一定能投中．(2)将x＝1代入表达式，得y＝3.∵3.1＞3，∴盖帽能获得成功．方法总结：解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线的表达式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.
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