沪科版九下数学24.5三角形的内切圆课件

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沪科版九下数学24.5三角形的内切圆课件

2021-12-15 11:00:10
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导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.5三角形的内切圆第24章圆学习目标1.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.2.掌握三角形内心的性质并能加以应用.(重点)3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.(难点) 导入新课小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？情境引入讲授新课三角形内切圆的相关概念一若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？观察与思考最大的圆与三角形三边都相切与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.BACI☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.知识要点三角形内切圆的作法及内心的性质二观察与思考问题1如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心O在∠ABC的平分线上.NCOMAB COAB问题2如图，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心O在∠ABC与∠ACB这两个角的平分线的交点上.线段AO，BO，CO分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线.FED线段线段OD，OE，OF的长度相等，等于三角形内切圆的半径. 作法：1.作∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF，设它们交于点O.2.过点O作OD⊥BC于点D.3.以点O为圆心、OD为半径作☉O.则☉O即为所作.问题3现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？COABFED 三角形内心的性质：三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.知识要点COABFED 例1如图，△ABC中，∠ABC=43°，∠ACB=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI∵点I是△ABC的内心，∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.在△IBC中，典例精析例2如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为如下所示的几何图形. CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD，如图.∵圆O是△ABC的内切圆,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的平分线，△ABC是等边三角形,∴∠OAB=∠OBA=30°.∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=1.5(cm).∴OD=AD·tan30°=(cm)答:圆柱底面圆的半径为cm. 例3△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？BACEDFO 解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.解得x=4.ACEDFOB 比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边垂直平分线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.点O到三边的距离相等2.AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．ABOABCO CABOD1.求边长为6cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，BO平分∠ABC.∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.内切圆半径外接圆半径练一练变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sin∠OBD=sin30°=CABRrOD ABCODEFABCDEFO2.设△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ ABCOcDEr3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.解析：如图，过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BE=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以ba （3）若∠BIC=100°，则∠A=度.当堂练习（2）若∠A=80°，则∠BIC=度.130201.如图，在△ABC中，点I是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？120° 2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是____步．6解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式求出该直角三角形内切圆的半径，即可得内切圆直径的长度. O3.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　　）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是△ABC的内心.故选Ａ.Ａ 4.如图，△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID．拓展提升：直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm，试问：（1）它的外接圆半径是cm；内切圆半径是cm.（2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.2.51 解：如图，设☉O与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形BODC为正方形.∴OB＝BC＝3，∴半径r的取值范围为0＜r≤3. 课堂小结三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.有关概念内心概念及性质应用查看更多