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北师大版九下数学3.6第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质1教案

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3.6直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质1.理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系;(重点)2.掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法;(难点)3.掌握切线的性质定理,会用切线的性质解决问题.(重点)                   一、情境导入在纸上画一条直线,把硬币的边缘看作圆,在纸上移动硬币,你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?二、合作探究探究点一:直线和圆的位置关系【类型一】判定直线和圆的位置关系已知⊙O半径为3,M为直线AB上一点,若MO=3,则直线AB与⊙O的位置关系为(  )A.相切B.相交C.相切或相离D.相切或相交解析:因为垂线段最短,所以圆心到直线的距离小于等于3,则直线和圆相交、相切都有可能.故选D.方法总结:判断直线和圆的位置关系,必须明确圆心到直线的距离.特别注意:这里的3不一定是圆心到直线的距离.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据直线和圆的位置关系,求线段的长或取值范围在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,CD⊥AB于点D,若以点C为圆心,以2cm长为半径的圆与斜边AB相切,那么BC的长等于(  )A.2cmB.2cmC.2cmD.4cm解析:如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,CD⊥AB,∴△ABC是等腰直角三角形.∵以点C为圆心,以2cm长为半径的圆与斜边AB相切,∴CD=2cm.∵∠B=45°,∴CD=BD=2cm,∴BC===2(cm).故选B.方法总结:解决问题的关键是根据题意画出图形,利用直线和圆的三种位置关系解答. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】在平面直角坐标系中,解决直线和圆的位置关系的问题如图,在平面直角坐标系中,已知⊙O的半径为1,动直线AB与x轴交于点P(x,0),且满足直线AB与x轴正方向夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x的取值范围是(  )A.-1≤x≤1B.-<x<C.0≤x≤D.-≤x≤解析:当直线AB与⊙O相切且与x轴正半轴相交时,设切点为C,连接OC.∵直线AB与x轴正方向夹角为45°,∴△POC是等腰直角三角形.∵⊙O的半径为1,∴OC=PC=1,∴OP==,∴点P的坐标为(,0).同理可得,当直线AB与x轴负半轴相交时,点P的坐标为(-,0),∴x的取值范围为-≤x≤.故选D.方法总结:解决本题要熟知直线和圆的三种位置关系,关键是有公共点的情况不要遗漏.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二:切线的性质【类型一】利用切线的性质求线段长如图,CB是⊙O的直径,P是CB延长线上一点,PB=2,PA切⊙O于A点,PA=4.求⊙O的半径.解析:设圆的半径是x,利用勾股定理可得关于x的方程,求出x的值.解:如图,连接OA,∵PA切⊙O于A点,∴OA⊥PA.设OA=x,∴OP=x+2.在Rt△OPA中,x2+42=(x+2)2,∴x=3,∴⊙O的半径为3.方法总结:运用切线的性质来进行计算或证明时,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】圆的切线与相似三角形的综合如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于E,连接CD.(1)求证:点E是边BC的中点;(2)求证:BC2=BD·BA;(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,求证:△ABC是等腰直角三角形. 解析:(1)利用切线的性质及圆周角定理证明;(2)利用相似三角形证明;(3)利用正方形的性质证明.证明:(1)如图,连接OD.∵DE为切线,∴∠EDC+∠ODC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ECD+∠OCD=90°.又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∴∠EDC=∠ECD,∴ED=EC.∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠BDE+∠EDC=90°,∠B+∠ECD=90°,∴∠B=∠BDE,∴ED=BE.∴EB=EC,即点E为边BC的中点;(2)∵AC为直径,∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°.又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD,∴=,∴BC2=BD·BA;(3)当四边形ODEC为正方形时,∠OCD=45°.∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠CAD=180°-∠ADC-∠OCD=180°-90°-45°=45°,∴Rt△ABC为等腰直角三角形.方法总结:本题的综合性比较强,但难度不大,解决问题的关键是综合运用学过的知识解答.另外,连接圆心和切点,构造直角三角形也是解题的关键.【类型三】圆的切线与三角函数的综合如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F点.(1)求证:∠ABC=∠F;(2)若sinC=,DF=6,求⊙O的半径.解析:(1)由切线的性质得AB⊥BF,因为CD⊥AB,所以CD∥BF,由平行线的性质得∠ADC=∠F,由圆周角定理的推论得∠ABC=∠ADC,于是证得∠ABC=∠F;(2)连接BD.由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°,因为∠ABF=90°,然后运用解直角三角形解答.(1)证明:∵BF为⊙O的切线,∴AB⊥BF.∵CD⊥AB,∴∠ABF=∠AHD=90°,∴CD∥BF.∴∠ADC=∠F.又∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC=∠F;(2)解:连接BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°.由(1)可知∠ABF=90°,∴∠ABD+∠DBF=90°,∴∠A=∠DBF.又∵∠A=∠C,∴∠C=∠DBF.在Rt△DBF中,sin∠DBF=sinC=,DF=6,∴BF=10,∴BD=8.在Rt△ABD中,sinA=sinC=,BD=8,∴AB=.∴⊙O的半径为.方法总结:运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.三、板书设计 直线和圆的位置关系及切线的性质1.直线和圆的位置关系:①直线l与圆O相交⇔d<r;②直线l与圆O相切⇔d=r;③直线l与圆O相离⇔d>r.2.切线的性质及运用在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时,先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系,启发学生运用类比的思想来思考问题,解决问题,学生很轻松地就能够得出结论,从而突破本节课的难点,使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化. 查看更多

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