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第1节 功与功率\n一、能量1．伽利略在斜面小球实验中,发现一个具有启发性的事实：无论斜面陡或缓,小球总会在斜面上的某点速度变为0,这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度____．在物理学中,我们把这一事实说成是“某个量是____的”,并且把这个量叫做能量或能．相同守恒\n2．势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量．3．动能：物体由于____而具有的能量．注意：在伽利略的理想斜面实验中,小球的动能和势能相互转化,但二者的总量是保持不变的．运动\n二、功1．定义：如果物体在力的作用下____发生了变化,那么这个力一定对物体做了功．2．做功的因素：__和物体在________上发生的位移,是做功的两个不可缺少的因素．3．功的计算(1)若力的方向与位移的方向一致,则W＝__.(2)若力的方向与位移的方向夹角为α,则W＝______.4．功的单位：国际单位制中,功的单位是____,简称__,符号是J.能量力力的方向FlFlcosα焦耳焦\n三、正功和负功1．设力F与位移l方向间的夹角为α,则由功的公式W＝Flcosα可得下表：\n不做功正克服负\n2.合力的功功是标量,当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时,这几个力对物体所做的总功,等于各个力分别对物体所做功的______,也等于这几个力的____对这个物体所做的功．代数和合力\n1．功的定义及其决定因素(1)功的基本概念：物体受到力的作用,并在力的方向上发生了位移,则此力就对物体做了功．\n(2)功的决定因素：做功具有两个必不可少的决定因素：①做功的力；②物体在力的方向上的位移．力对物体是否做了功,只与这两个因素有关,并且功的大小等于力与物体在力的方向上的位移的乘积,而与其他因素,诸如物体运动的快慢、运动的性质、接触面是否光滑、物体质量的大小等均无关系．\n2．公式W＝Flcosα的理解(1)F表示力的大小,l表示力的作用点相对于地面位移的大小,当力的作用点的位移与物体的位移相同时,也常常说是物体相对于地面的位移大小,α表示力和位移方向间的夹角．(2)公式可以表达为W＝F·lcosα,表达的意义是功等于沿力F方向的位移与力的乘积；公式也可以表达为W＝Fcosα·l,表达的物理意义是功等于位移与沿位移方向的力的乘积．\n3．正功与负功及不做功的判定(1)根据力和位移方向间的夹角判定．(2)根据力和速度方向间的夹角判定．当力的方向或速度方向变化时,可看力和速度的夹角大小,当F、v夹角为锐角时,F为动力,做正功；F、v夹角为钝角时,F为阻力,做负功；F、v夹角为直角时,F既不是动力,也不是阻力,不做功．此法多用于曲线运动中．\n即时应用(即时突破,小试牛刀)1．用水平恒力F作用于质量为M的物体上使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离为l,恒力做功为W1；再用该恒力作用于质量为m(m<M)的物体上,使之在粗糙的水平面上移动同样的距离l,恒力做功为W2,则两次恒力做功的关系是()\nA．W1>W2B．W1<W2C．W1＝W2D．无法判断解析：选C.恒力做功是指力F所做的功,根据功的定义,力F所做的功只与力F的大小及物体在力F的方向上发生的位移大小的乘积有关,不需考虑其他力的影响,因两次的恒力相同,位移也相同,所以做功相同,故本题选C.\n二、总功的计算计算几个力的总功,通常有以下两种不同的处理方法：1．虽然力、位移都是矢量,但功是标量,所以几个力的总功等于各个力所做功的代数和．若以W1、W2、W3…Wn分别表示力F1、F2、F3…Fn所做的功(含正功与负功),则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn.\n2．求出物体所受的合外力,根据公式W合＝F合lcosα求合外力的功,则物体所受的外力做的总功为W总＝W合＝F合lcosα特别提醒：方法2仅适用于几个力同时作用于物体的情况,因为只有当这几个力同时作用于物体上时,才能求出它们的合力；方法1则不管几个力同时作用,还是作用时间有先后均适用．\n即时应用(即时突破,小试牛刀)2.如图7－1－1所示,两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上,F1＝4N,F2＝3N．物体由静止运动1m的距离,则物体所受合力及合力做的功正确的是()图7－1－1\nA．7N7JB．1N1JC．5N5JD．5N7J\n图7－1－2\n2.图象法：变力的功W可用F－l图线与l轴所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少,l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．3．微元法：当力的大小不变,力的方向时刻与速度同向(或反向)时,把物体的运动过程分为很多小段,这样每一小段可以看成直线,先求力在每一小段上的功,再求和即可．\n例如：如图7－1－3所示,物体在大小不变、方向始终沿着圆周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈,又回到出发点．已知圆周的半径为R,求力F做的功时,图7－1－3\n力F的方向在随时变化,是一个变力,所以不能乱套用公式．而这时,我们把整个的圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…因为每一段很短,这样在每一段上,我们可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且同向,故W＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝2πRF.因此功等于力F与物体实际路径长度的乘积．即W＝Fs.对于滑动摩擦力、空气阻力,方向总是与v反向,故W＝－Ff·s.\n4．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的功相等,则可以用求得的恒力的功来作为变力的功．\n即时应用(即时突破,小试牛刀)3.在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为R/2和R的两个半圆构成(图7－1－4),现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点,若拉力F的方向时刻均与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做的功为()图7－1－4\n\n1．摩擦力做功的特点(1)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体不做功．图7－1－5\n①如图7－1－5所示,物块A从斜槽上滑下,最后停在固定的平板车B上．在物块A与平板车B相对滑动的过程中,平板车B所受的滑动摩擦力不做功．②手握瓶子使其水平运动,此时瓶所受静摩擦力与移动位移垂直,故静摩擦力对瓶子不做功．(2)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功．①在图7－1－5中,在物块A与平板车B相对滑动的过程中,物块A所受的滑动摩擦力对物块A做负功．\n②如图7－1－6所示,在一与水平方向夹角为θ的传送带上,有一物体A随传送带一起匀速向下运动,在这里静摩擦力对物体A做负功．图7－1－6\n(3)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功．①在图7－1－5中,如果平板车不固定,且地面光滑,在物块A滑上平板车B的过程中,物块A对平板车B的滑动摩擦力与平板车B运动方向相同,在这里滑动摩擦力对平板车B做正功．②在图7－1－6中,如果物体A随传送带一起匀速向上运动,物体A所受静摩擦力与物体位移方向一致,静摩擦力对物体A做正功．\n特别提醒：(1)一对静摩擦力的功一定是相等的,且一正一负．(2)一对滑动摩擦力的功不相等,且负功大于正功．2．作用力、反作用力做功的特点(1)作用力与反作用力的特点：大小相等、方向相反,但作用在不同物体上．(2)作用力、反作用力作用下的物体运动特点：可能向相反方向运动,也可能向同一方向运动．也可能一个运动,而另一个静止,还可能两物体都静止．\n(3)由W＝Flcosα不难判断,作用力的功与反作用力的功的特点：没有必然的关系,即不一定一正一负,也不一定绝对值相等．\n即时应用(即时突破,小试牛刀)4．关于一对作用力和反作用力的功,下列说法中正确的是()A．如果其中一个力做正功,则另一个力必做负功B．一对作用力与反作用力做功可能都为零C．这两个力一定同时都做正功或同时都做负功D．一对作用力与反作用力做功的代数和必为零\n解析：选B.一对作用力与反作用力虽然大小相等,方向相反,但它们的位移关系不确定,故这对力做的功的关系也不确定．B正确,A、C、D错误．\n做功的判断\n质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上,斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s,如图7－1－7所示,物体m相对斜面静止．则下列说法中不正确的是()图7－1－7例1\nA．重力对物体m做正功B．合力对物体m做功为零C．摩擦力对物体m做负功D．支持力对物体m做正功【思路点拨】判断功的正负可以看力与位移方向的夹角情况．\n【精讲精析】物体的受力及位移如图7－1－8所示．支持力FN与位移x的夹角α<90°,故支持力做正功,D正确．重力垂直位移,故它不做功,A错误．摩擦力Ff与x夹角β>90°,故摩擦力做负功,C正确．合力为零,合力不做功,B正确,故符合题意的选项为A.图7－1－8\n【答案】A【方法总结】力做正功还是负功的判断方法：(1)看力F与位移x的夹角αα<90°,力做正功；α>90°,力做负功．(2)看力F与速度v的夹角αα<90°,力做正功；α>90°,力做负功(3)看速率增大还是减小,若在力作用下速率增大,此力做正功,反之做负功．\n变式训练1如图7－1－9所示,重物P放在粗糙的水平板OA上,当水平板绕O端缓慢抬高,在重物P没有滑动之前,下列说法中正确的是()图7－1－9\nA．P受到的支持力不做功B．P受到的支持力做正功C．P受到的摩擦力不做功D．P受到的摩擦力做负功解析：选BC.摩擦力始终与P的速度垂直,不做功,支持力的方向始终与P速度同向,做正功．\n如图7－1－10所示,水平地面上的物体质量为2kg,在方向与水平面成37°角、大小为10N的拉力F作用下移动2m,已知物体与水平地面间的动摩擦因数为0.2.在这一过程中,物体受的各力做功多少？合力做功多少？(g取10m/s2,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8)恒力做功的求解例2图7－1－10\n【思路点拨】物体受到的各力均为恒力,用公式W＝F·lcosα求功即可．\n【自主解答】物体受重力、支持力、拉力、摩擦力四个力作用,受力分析如图7－1－11所示,其中重力和支持力与运动方向垂直,不做功,拉力做正功,摩擦力做负功．图7－1－11\n法一：拉力F对物体做的功为WF＝F·lcos37°＝10×2×0.8J＝16J摩擦力对物体做的功为WFf＝Fflcos180°＝－μ(mg－Fsin37°)l＝－0.2×(2×10－10×0.6)×2J＝－5.6J重力和支持力做的功为WG＝WFN＝0合力做的功为W合＝WG＋WFN＋WF＋WFf＝16J－5.6J＝10.4J\n法二：物体所受到的合力为F合＝Fcos37°－Ff＝(10×0.8－2.8)N＝5.2N所以W合＝F合·l＝5.2×2J＝10.4J.【答案】见自主解答【方法总结】两种求总功的方法要依据题目特点灵活运用,可先求每个力做的功,再求其代数和,即为总功；也可先求几个力的合力,再求合力所做的功．\n变式训练2一质量为1kg的物体被人用手匀速向上托高1m,下列说法正确的是(g取10m/s2)()A．手对物体做功10JB．合外力对物体做功为0C．物体克服重力做功10JD．手对物体做正功,且大于10J\n解析：选ABC.手对物体的作用力F＝mg＝10N,故手对物体做的功W1＝10×1J＝10J,A对D错．重力做功W2＝－10×1J＝－10J,C对．物体匀速上升,合力为零,故W合＝0,B对．\n某人利用如图7－1－12所示的装置,用100N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点．已知α1＝30°,α2＝37°,h＝1.5m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对物体所做的功．变力做功的计算例3图7－1－12\n【精讲精析】绳对物体的拉力虽然大小不变,但方向不断变化,所以不能直接根据W＝Flcosα求绳的拉力对物体做的功．由于不计绳与滑轮的质量及摩擦,所以恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力F所做的功求出绳对物体的拉力所做的功．由于恒力F作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移l,再求恒力F的功．\n\n【答案】50J【方法总结】解决本题有两个关键点：(1)把变力做的功转化成恒力做功求解；(2)力F做功的位移等于左边绳的变短的部分,而不等于物体的位移．\n变式训练3用铁锤把小铁钉钉入木板,设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进的深度为d,如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同,那么,第二次钉子进入木板的深度是()\n\n如图7－1－13所示,木块原来静止在光滑水平面上,子弹以一定的速度从左端打进木块,当子弹与木块速度恰好相等时,子弹的位移为l1、木块的位移为l2.设木块与子弹间的摩擦力为Ff,则摩擦力对木块所做的功为多少？摩擦力对子弹所做的功为多少？一对摩擦力做功的代数和是多少？摩擦力做功的计算例4图7－1－13\n【精讲精析】子弹所受的摩擦力向左,与子弹运动的方向相反,因此,摩擦力对子弹所做的功W1＝－Ffl1；木块所受的摩擦力向右,因此,摩擦力对木块所做的功为W2＝Ffl2；一对摩擦力做功的代数和为W＝W1＋W2＝Ff(l2－l1)．【答案】－Ffl1Ffl2Ff(l2－l1)\n【方法总结】由牛顿第三定律可知,子弹与木块间相互作用的滑动摩擦力大小相等、方向相反,但由于两物体的位移不同,因此两个力做功的代数和并不为零．\n变式训练4以一定的初速度竖直向上抛出一个质量为m的小球,小球上升的最大高度为h,空气阻力的大小为Ff,则从抛出到回到原出发点的过程中,下列说法正确的是()\nA．空气阻力对小球做的功为零,重力对小球做的功也为零B．空气阻力对小球做的功为零,重力对小球做的功为2mghC．空气阻力对小球做的功为－2Ffh,重力对小球做的功为零D．空气阻力对小球做的功为－2Ffh,重力对小球做的功为2mgh\n解析：选C.空气阻力的方向始终与小球运动的方向相反,做负功,其上升阶段做功为－Ffh,下降阶段做功为－Ffh；上升阶段重力做功为－mgh,下降阶段重力做功为mgh,故全段过程中阻力做功为－2Ffh,重力做功为零．只有答案C正确．
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