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第3节 万有引力理论的成就\n引力\n匀速圆周万有引力\n三、发现未知天体1．18世纪,人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差．2．根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道,如_______和_______就是这样发现的．海王星冥王星\n3．海王星和冥王星的轨道与计算结果不完全符合,因此人们猜测在冥王星外侧还有未发现的大行星．注意：海王星和哈雷彗星的“按时回归”最终确立了万有引力定律的地位．\n一、天体质量和密度的计算1．求天体质量的思路绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动,做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力,利用此关系建立方程求中心天体的质量．\n\n\n\n特别提醒：(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球,也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意R、r的区分．R指中心天体的半径,r指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行,则有R＝r.\n\nA．密度B．质量C．半径D．自转周期\n\n\n\n\n3．解决天体问题时应注意的问题(1)在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时,只能测出中心天体的质量,而环绕天体的质量在方程式中被消掉了．(2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件．如地球公转一周是365天,自转一周是24小时,其表面的重力加速度约为9.8m/s2等．\n\n即时应用(即时突破,小试牛刀)2．探测器绕月球做匀速圆周运动,变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动,则变轨后与变轨前相比()A．轨道半径变小B．向心加速度变小C．线速度变小D．角速度变小\n\n在某行星上,宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F,乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行,测得其环绕周期为T,根据这些数据求该星球的质量．天体质量的估算例1\n【思路点拨】解答该题应明确两个关系：(1)在行星表面物体的重力等于星球对它的万有引力．(2)在行星表面附近飞船飞行的向心力由万有引力提供．\n\n\n变式训练1如果我们能测出月球表面的加速度g,月球的半径R和月球绕地球运转的周期T,就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了．已知引力常量G,用M表示月球的质量,关于月球质量,下列各式正确的是()\n\n\n假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1,已知引力常量为G,则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又是多少？天体密度的估算例2\n\n\n\n变式训练2如果在一个星球上,宇航员为了估测星球的平均密度,设计了一个简单的实验：他先利用手表,记下一昼夜的时间T；然后,用弹簧秤测一个砝码的重力,发现在赤道上的重力为两极的90%.试写出该星球平均密度的估算表达式．\n解析：设星球的质量为M,半径为R,表面重力加速度为g′,平均密度为ρ,砝码的质量为m.砝码在赤道上失重1－90%＝10%,表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为Fn＝ΔG＝0.1mg′,而一昼夜的时间T就是星球的自转周期．根据牛顿第二定律,有\n\n天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动,周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星系统的总质量．(万有引力常量为G)例3“双星”问题的求解\n【思路点拨】双星在他们的引力作用下做圆周运动,周期和角速度相同,都是由万有引力提供向心力．【精讲精析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2,做圆周运动的半径分别为r1、r2.根据题意有r1＋r2＝r根据万有引力定律和牛顿定律,有\n\n【名师归纳】对于双星问题要注意：(1)两星所需的向心力由两星球间万有引力提供,两星球做圆周运动的向心力大小相等．(2)双星具有共同的角速度、周期．(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上．\n变式训练3月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统,它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点,可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为()\nA．1∶6400B．1∶80C．80∶1D．6400∶1解析：选C.月球与地球做匀速圆周运动的圆心在两质点的连线上,所以它们的角速度相等,其向心力是相互作用的万有引力,大小相等,即mω2r＝Mω2R,所以mω·ωr＝Mω·ωR,即mv＝Mv′,所以v∶v′＝M∶m＝80∶1,选项C正确．
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