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第十六章16.1二次根式第一课时二次根式的概念人教版数学八年级下册
学习目标理解二次根式的概念.掌握二次根式有意义的条件.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
新课引入问题：（1）面积为2的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t=_____．
新知讲解问题1这些式子分别表示什么意义？上面问题中，得到的结果分别是：，，，．它们都表示一些正数的算术平方根．问题2这些式子有什么共同特征？分别表示2，S，3，的算术平方根．
新知讲解注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a≥0一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.a
新知讲解练习1:下列式子，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？【点拨】判断二次根式的依据是一个形式一个条件(被开方数为非负数)，二者缺一不可．√√（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） ．≥＜√
新知讲解二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．想一想：二次根式和算术平方根有什么关系？
新知讲解例1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？2-x解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.2-x【小提示】有二次根式的要考虑二次根式的被开方数大于等零，有分母的要考虑分母不为零．
新知讲解变式练习当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.【小提示】有二次根式的要考虑二次根式的被开方数大于等于零，有分母的要考虑分母不为零．
新知讲解例2当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.
新知讲解变式练习二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.aaaaa
新知讲解二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.a
新知讲解例3若，求a-b+c的值.由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.解：
新知讲解多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
小试牛刀2.式子有意义的条件是（）A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA-10
小试牛刀（1）（2）（3） ．解：（1）由a+1≥0，得a≥-1；（2）由1-2a＞0，得a<；（3）由≥0，得a为任何实数．4.a取何值时，下列根式有意义？
小试牛刀5.已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.
小试牛刀6.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，解得m≥2且m≠-2，m≠2，∴m＞2．
小试牛刀(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.
小试牛刀7.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
小试牛刀8.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得解得x≥1或x≤0.即当x≥1或x≤0时，有意义.
小试牛刀体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？
小试牛刀拓展提升若x，y是实数，且y＜,求的值.
课堂小结1．二次根式的概念．2．二次根式的判断方法．3．怎样求二次根式的被开方数中字母的取值范围？
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