首页 > 初中 > 数学 > 27.2.3相似三角形应用举例学案
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27.2相似三角形27.2.3相似三角形应用举例学习目标：1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.(重点)2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.(难点)自主学习一、知识链接据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.你知道他是怎么测量的吗？合作探究一、要点探究探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】例1如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.,【要点归纳】测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.表达式：物1高：物2高=影1长：影2长【针对训练】1.如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（）A．B．C．D．第1题图第2题图2.如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是_____米．思考还可以有其他测量方法吗？,【要点归纳】测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用“镜子的反射原理”去解决.【针对训练】如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米探究点2：利用相似三角形测量宽度例2如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.,例3如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求两岸间的大致距离AB．【要点归纳】测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了?【分析】如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交,AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.二、课堂小结当堂检测1.小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为()A.45米B.40米C.90米D.80米2.小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶()A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m3.如图，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10cm，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离SA为.第3题图第4题图,4.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB.若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为m.5.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.6.如图，某一时刻，旗杆AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．参考答案合作探究一、要点探究探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】,例1解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO=∠EDF.又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴=134(m).因此金字塔的高度为134m.【针对训练】1.C2.8【针对训练】B探究点2：利用相似三角形测量宽度例2解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.∴，即，，PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90.因此，河宽大约为90m.例3解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD.∴，即，解得AB=64.因此，两岸间的大致距离为64m.探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.∴，即，解得EH=8.由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C.当堂检测1.A2.A3.12cm4.205.解：由题意可得△DEF∽△DCA，则，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，∴，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(米).答：旗杆的高度为11.5米.6.解：如图：过点D作DE∥BC，交AB于点E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA:ED=1:1.2，∴AE=8m.,∴AB=AE+EB=8+2=10(m)，∴学校旗杆的高度为10m.
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