首页 > 初中 > 数学 > 27.2.1第2课时三边成比例的两个三角形相似学案
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27.2.1相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似学习目标：1.复习已经学过的三角形相似的判定定理.2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.(重点、难点)自主学习一、知识链接1.什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？2.证明三角形全等有哪些方法？你能从中获证明三角形相似的启发吗？3.类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？合作探究一、要点探究探究点1：三边成比例的两个三角形相似操作任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC的各边长的k倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？,发现通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.证明下面我们用前面所学得定理证明该结论.【要点归纳】利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．符号语言：∵，∴△ABC∽△A′B′C.【典例精析】例1根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm.【针对训练】已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(1)AB=3，BC=4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝9；(2)AB=4，BC=8，AC＝10，DE＝20，EF＝16，DF＝8.例2判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.,【方法总结】判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.【注意】计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.例3如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且，求证：△A′B′C′∽△ABC.【分析】要运用三边成比例判断相似，目前题目只有2组边成比例和90°的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边成比例，进而求解例4如图，在△ABC和△ADE中，,∠BAD=20°，求∠CAE的度数.二、课堂小结,当堂检测1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由AB=5cm，BC=7cm，AC=8cm，A′B′=15cm，B′C′=21cm，A′C′=23cm.2.如图，在大小为4×4的正方形网格中，有两个三角形，它们是否相似？请说明理由.3.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，求证：△ABC∽△DBA.4.如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．,5.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.参考答案自主学习一、知识链接1.解：仅形状不同的两个三角形是相似三角形，相似的判定定义有：对应角相等，对应边成比例，也有平行线判断相似.2.解：三角形全等判定有：边边边、角边角、角角边、边角边、斜边直角边.3.解：能.,合作探究一、要点探究探究点1：三边成比例的两个三角形相似【典例精析】例1解：相似.理由如下：∵，，,∴∴△ABC∽△A′B′C′.【针对训练】解：（1）不相似；（2）相似.例2解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DEF中，DE>EF>FD.∵，，，∴.∴△ABC∽△DEF.例3【分析】要运用三边成比例判断相似，目前题目只有2组边成比例和90°的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边成比例，进而求解证明：由已知条件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，∴BC=AB²－AC²=(2A′B′)²－(2A′C′)²=4（A′B′）²－4（A′C′）²=4(（A′B′）²－（A′C′）²)=4（B′C′）²=(2B′C′)².∴BC=2B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.例4解：∵，∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).∴∠BAC=∠DAE，∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.当堂检测1.解：不相似.理由如下：∵，，，∴△ABC与△A′B′C′的三边不成比例，∴不相似.2.解：相似，图①中的三角形三边分别为，2，；图②中的三角形三边分别为2，2，2.,则，所以这两个三角形相似.3.证明：∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，∴AB=，AC=，AD=.∵AB:BC=BD:AB=AD:AC，∴△ABC∽△DBA.4.证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴，∴△ABC∽△EFD.5.解：公路AB与CD平行.∴，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.
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