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人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A.∠A，∠B两内角的平分线的交点处B.AC，AB两边高线的交点处C.AC，AB两边中线的交点处D.AC，AB两边垂直平分线的交点处2.下列判断正确的是( )A.点(-3,4)与(3,4)关于x轴对称B.点(3,-4)与点(-3,4)关于y轴对称C.点(3,4)与点(3,-4)关于x轴对称D.点(4,-3)与点(4,3)关于y轴对称3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )A.10°B.20°C.30°D.40°4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称，∠CAE=10°，连接BF，则∠ABF的度数是( )A.30∘B.35∘C.40∘D.45∘5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF//AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( )A.120°B.130°C.145°D.150°第19页共20页1.若等腰三角形的周长为19cm，一边长为7cm，则腰长为( )A.7cmB.5cmC.7cm或5cmD.7cm或6cm2.如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为( )A.5B.4C.3D.23.等腰三角形的底角是15∘，腰长为10，则其腰上的高为( )A.8B.7C.5D.44.如图，在△ABC中，AB=AC．(1)分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧相交于点D;(2)作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是( )A.∠BAD=∠CADB.△BCD是等边三角形C.AD垂直平分BCD.S四边形ABDC=AD⋅BC5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列选项中结论错误的是( )A.EF=BE+CFB.∠BOC=90∘+12∠AC.点O到△ABC各边的距离相等D.设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn第19页共20页二、填空题（本大题共8小题，共24分）1.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分，点P是直线m上的动点.若AB=6，AC=4，BC=7，则△APC的周长的最小值是 ．2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，点D到AB的距离为3，∠BAD=60∘，点F为AB的中点，点E为AC上的任意一点，则EF+EB的最小值为 ．3.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=4，则AC= ．4.已知∠AOB=45∘，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是 ．5.已知一个等腰三角形的两个内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形的底角的度数为 ．6.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=30∘，∠1=80∘，则∠2= ．7.如图，在△ABC中，CB=CA，点D在AB上.若BD=BC，AD=CD，则∠ACB= ．第19页共20页1.如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点; ②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=25∘，则∠ACB的度数为 ．三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）2.已知，如图△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC.将图中的等腰三角形全都写出来．并求∠B的度数．3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BC的垂直平分线交AC于点E，BE交AD于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．4.如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC.点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F.求证：(1)EF⊥AB．(2)DE=2DF．第19页共20页1.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)求证：HC平分∠AHE；(3)求∠CHE的度数(用含α的式子表示)．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE=BG=6cm，∠BEG=60°，EF=2cm．(1)求∠DFG的度数．(2)求BC的长度．3.如图，在等边△ABC中，M是BC边上一点(不与端点B，C重合)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．(1)尺规作图：在直线BC的下方过点B作∠CBE=∠CBA，作NC的延长线，与BE相交于点E；(2)求证：△BEC是等边三角形，(3)求证：∠AMN=60∘．第19页共20页1.如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．(1)求证：△BCE≌△ACD;(2)求证：CF=CH;(3)判断△CFH的形状并说明理由．2.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．(1)若设AP=x，则PC= ，QC= .(用含x的式子表示)(2)当∠BQD=30∘时，求AP的长．(3)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化⋅如果不变，求出线段DE的长;如果变化，请说明理由．第19页共20页答案和解析1.【答案】D 【解析】略2.【答案】C 【解析】解：A、点(-3,4)与(3,4)关于y轴对称；B、点(3,-4)与点(-3,4)关于原点对称；C、点(3,4)与点(3,-4)关于x轴对称；D、点(4,-3)与点(4,3)关于x轴对称．故选：C．根据平面直角坐标系中对称点的规律就可以得到．主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．由余角的性质可求∠C=40°，由轴对称的性质可得∠AB'B=∠B=50°，由外角性质可求解．【解答】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B=∠B=50°，∴∠CAB'=∠AB'B-∠C=10°，故选：A． 4.【答案】C 第19页共20页【解析】【分析】此题主要考查了轴对称的性质、三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC度数是解题关键．利用轴对称的性质得出△BAC≌△FAG，进而结合三角形内角和定理与等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：∵△AFG与△ABC关于直线DE对称，∴△BAC≌△FAG，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AGF=∠AFG=70°，∴∠BAC=∠FAG=40°，∵∠CAE=10°，∴∠GAE=10°，∴∠BAF=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABF=∠AFB=40°．故选C． 5.【答案】B 【解析】解：∵AB=AC，∠C=65°，∴∠B=∠C=65°，∵DF//AB，∴∠CDE=∠B=65°，∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°；故选：B．由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=65°，由平行线的性质得出∠CDE=∠B=65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．6.【答案】D 【解析】第19页共20页【分析】本题主要考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是分类思想的运用．分两种情况讨论：当7cm为腰长时，当7cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：当7cm为腰长时，底边为5cm，符合三角形三边关系；当7cm为底边时，腰长为6cm，符合三角形三边关系；故腰长为7cm或6cm，故选：D． 7.【答案】D 【解析】解：如图，连接AO，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∵S△ABC=S△AOB+S△AOC，∴12BC×2=12AB⋅OE+12AC⋅OF，即12×2=12(OE+OF)，∴OE+OF=2；故选：D．三角形ABC的面积等于三角形AOB的面积+三角形AOC的面积，根据△ABC是等边三角形，所以三角形是等底的三角形，且高OF+高OE等于三角形ABC的高．本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等．本题利用面积法解决问题，这也是几何题中常用的方法．8.【答案】C 【解析】略第19页共20页9.【答案】D 【解析】略10.【答案】D 【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(180∘-∠A)=90∘- 12∠A，∴∠BOC=180∘-(∠OBC+∠OCB)=90∘+12∠A，故B选项结论正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF//BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故A选项结论正确；过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接OA，如图，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE⋅OM+12AF⋅OD=12OD⋅(AE+AF)=12mn，故D选项结论错误；第19页共20页∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故C选项结论正确．故选D．11.【答案】10 【解析】∵直线m垂直平分BC，∴B、C两点关于直线m对称，如图，设直线m交AB于D，连接CD，则BD=CD．当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC的周长的最小值是6+4 =10．12.【答案】解：如图，连接BD．∵AB=BC= CD=AD，∴AC垂直平分BD．∴点B关于直线AC的对称点为点D．连接DF，则DF的长即为EF+EB的最小值．在△ABD中，由∠BAD=60∘，AD= AB，可得△ABD为等边三角形．∵点F为AB的中点，∴DF⊥AB．∴DF=3. ∴EF+EB的最小值为3．第19页共20页 【解析】见答案13.【答案】2 【解析】略14.【答案】等腰直角三角形 【解析】略15.【答案】30∘或80∘ 【解析】略16.【答案】40∘ 【解析】略17.【答案】108∘ 【解析】略18.【答案】105∘ 【解析】略第19页共20页19.【答案】解：图中等腰三角形有△ABC，△ADB，△ADC∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；∵BD=AD，DC=AC∴△ADB和△ADC是等腰三角形；∵AB=AC∴∠B=∠C∵BD=AD，DC=AC∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC=2∠B，在△ACD中，∵∠ADC=∠DAC=2∠B，∠C=∠B，∴5∠B=180°∴∠B=36°． 【解析】因为AB=AC，BD=AD，DC=AC，由等腰三角形的概念得△ABC，△ADB，△ADC是等腰三角形，再根据角之间的关系求得∠B的度数．此题考查了等腰三角形判定；解决此题的关键是熟练掌握运用等腰三角形的判定方法，注意数形结合的解题思想，在图形上找到等腰三角形是解答本题的关键．20.【答案】证明：∵BC的垂直平分线交AC于点E，∴BE=CE．∴∠EBC=∠C.∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD=90∘，∠EBC+∠BFD=90∘．∴∠CAD=∠BFD．∵∠BFD=∠AFE，∴∠AFE=∠CAD．∴AE=EF．∴E在AF的垂直平分线上． 【解析】见答案21.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=∠ABC=60∘．∵D第19页共20页为AC的中点，∴AD=CD=12AC．∵CE=12BC，∴CD=CE．∴∠E=∠CDE=12∠ACB=30∘．∵∠ABC=60∘，∴∠EFB=180∘-60∘-30∘=90∘．∴EF⊥AB．(2)连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60∘．∵D为AC的中点，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30∘．∵∠E=30∘，∴∠DBC=∠E.∴DE=BD．∵∠BFE=90∘，∠ABD=30∘，∴BD=2DF.即DE=2DF． 【解析】见答案22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)；(2)证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，如下图所示，第19页共20页∵△ACD≌△BCE，∴S△ACD=S△BCE，AD=BE，∴12·AD·CM=12·BE·CN，∴CM=CN，∴HC平分∠AHE；(3)∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AOC=∠BOH，∴∠AHB=∠ACB=α，∴∠AHE=180°-α，∴∠CHE=12∠AHE=90°-12α. 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE；(2)首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可得S△ACD=S△BCE，AD=BE，根据三角形的面积公式可得CM=CN，即可证得CH平分∠AHE；(3)由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE的度数．23.【答案】解：(1)∵EB=BG=6cm，∠BEG=60°，∴△EBG是等边三角形，∴EG=BE=6cm，∠FGD=60°，∵EF=2cm，∴FG=4cm，∵AB=AC.AD平分∠BAC，第19页共20页∴AD⊥BC，BD=CD，∵∠DFG=90°-60°=30°，(2)在Rt△DFG中，∵FG=4cm，∠DFG=30°，∴DG=12∠GF=2cm，∴BD=BG-DG=4cm，∴BC=2BD=8cm． 【解析】(1)证明△BEG是等边三角形，推出∠DGF=60°，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．(2)想办法求出BD，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)作图如图所示．(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60∘，∴∠ACH=120∘，∵CN平分∠ACH，∴∠HCN=∠BCE=60∘，∵∠CBE=∠CBA=60∘，∴∠EBC=∠BCE=60∘，∴△BEC是等边三角形．第19页共20页(3)证明：连接ME，∵△ABC和△BCE都是等边三角形，∴AB=BC=BE．在△ABM和△EBM中，{AB=EB∠ABM=∠EBMBM=BM∴△ABM≌△EBM(SAS)，∴AM=EM，∠BAM=∠BEM，∵AM=MN，∴MN=EM，∴∠N=∠CEM，∵∠HCN=∠N+∠CMN=60∘，∠BEC=∠BEM+∠CEM=60∘，∴∠CMN=∠BEM=∠BAM，∵∠AMC=∠ABC+∠BAM=∠AMN+∠CMN，∴∠AMN=60∘． 【解析】(1)以B为圆心，以任意长为半径画弧，交AB、BC两边为D和F，以F为圆心，以DF为半径画弧，交前弧于G，作射线BG，交NC的延长线于E，则∠CBE=∠CBA;(2)证明△BCE三个角都是60∘，可得结论;(3)作辅助线，构建三角形全等，证明△ABM≌△EBM(SAS)，得AM=EM，∠BAM=∠BEM，证明∠CMN=∠BEM=∠BAM，根据三角形外角的性质可得结论．25.【答案】(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60∘．∴∠BCE=60∘+∠ACE=∠ACD．第19页共20页∴△BCE≌△ACD(SAS)．(2)证明：∵△BCE≌△ACD，∴∠FBC=∠HAC．∵∠ACB=60∘，∠FCH=180∘-∠ACB-∠ECD=60∘，∴∠BCF=∠ACH．又∵BC=AC，∴△BCF≌△ACH(ASA)．∴CF=CH．(3)解：△CFH是等边三角形．理由：∵CF=CH，∠FCH=60∘，∴△CFH是等边三角形． 【解析】见答案26.【答案】 (1)6-x；6+x；(2)解：∵在QCP中，∵∠BQD=30°，∠C=60°∴∠QPC=90°∴PC= 12QC，即6-x= 12(6+x)，解得x=2，∴AP=2；(3)解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、第19页共20页Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，∴在△APE和△BQF中，∠AEP=∠BFQ∠A=∠FBQAP=BQ，∴△APE≌△BQF(AAS)，∴AE=BF，PE=QF∵∠DFQ=∠DEP=90°，∠QDF=∠EDPPE=QF∴△QFD≌△PEDAAS,∴DF=DE=12EF∵EF=BE+BF=EB+AE=AB，∴DE= 12AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．(1)由△ABC是边长为6的等边三角形，AC=BC=6，设AP=x，则PC=6-x，QC=6+x；(2)由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= 12QC，即6-x= 12(6+x)，求出x的值即可；(3)作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由∠DFQ=∠DEP=90°，∠QDF=∠EDP，PE=QF，再证明△QFD≌△PED，进而可得出EF=BE+BF=EB+AE=AB，DE= 12AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变【解答】解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，故答案为：6-x第19页共20页；6+x；(2)见答案；(3)见答案． 第19页共20页
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