资料简介
2．3．1离散型随机变量的均值一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…\nPP1P2…Pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6.分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nP……称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．8.离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么\n（k＝0,1,2,…，）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ123…k…P……称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有 次得4环； 次得5环；\n………… 次得10环．故在n次射击的总环数大约为，从而，预计n次射击的平均环数约为．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:…．1.均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称……为ξ的均值或数学期望，简称\n期望． 2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4.均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为ξx1x2…xn…η……Pp1p2…pn…于是……＝……)……)＝，由此，我们得到了期望的一个性质:5.若ξB（n,p），则Eξ=np证明如下：∵ ，\n∴ 0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．又∵，∴＋＋…＋＋…＋．故 若ξ～B(n，p)，则np．三、讲解范例：例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望解：因为，所以例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~B（20,0.9）,,\n由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．解：用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即X1=3800.采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元，即\n同样，采用第3种方案，有于是，EX1＝3800,EX2＝62000×P(X2=62000)+200000×P(X2=2000)=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600,EX3=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100.采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：∵，\n=3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：（=1，2，…，10）需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316根据以上的概率分布，可得的期望例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．\n解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ123456P所以1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为ξ15161718\nP0.10.50.30.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)∵η=2ξ+2∴2Eξ+2=34.8（元）故所收租车费η的数学期望为34.8元． (Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1.口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（）A．4； B．5； C．4.5； D．4.75答案：C2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求\n⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为，，所以1×＋0×⑵η的概率分布为η012P所以0×＋1×＋2×＝1.4．⑶ξ的概率分布为ξ０１23P 所以0×＋1×＋2×＝2.1.3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A\n（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ. 解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=． ∴ P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）． ∴ ξ～B(n,)，故 Eξ=n×=五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4P69A组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数(=0、1、2)则的要布列为012p\n于是E（）=0×+1×+2×=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数①求的概率分布列②求的数学期望解：①依题意的取值为0、1、2、3、4=0时，取2黑p(=0)==1时，取1黑1白p(=1)==2时，取2白或1红1黑p(=2)=+=3时，取1白1红，概率p(=3)==4时，取2红，概率p(=4)=01234p∴分布列为\n（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3）表示第i台仪器不出现故障，则：p(=1)=p(A1··)+p(·A2·)+p(··A3)=p1(1－p2)(1－p3)+p2(1－p1)(1－p3)+p3(1－p1)(1－p2)=p1+p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1·A2·)+p(A1··)+p(·A2·A3)=p1p2(1－p3)+p1p3(1－p2)+p2p3(1－p1)=p1p2+p1p3+p2p3－3p1p2p3p(=3)=p(A1·A2·A3)=p1p2p3∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)=p1+p2+p3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望\n4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是1.2解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为012P5.、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率A 1 对B1A 2 对B2A 3 对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，（1）求，的概率分布；（2）求，解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0\n根据题意知，所以（Ⅱ）；因为,所以
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