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高中数学人教A版选修2-1第3章3.1.5空间向量运算的坐标表示教学设计

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3.1.5空间向量运算的坐标表示课题向量的坐标教学目的要求1.理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系2.掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示主要内容与时间分配1.投影与投影定理25分钟2.分向量与向量的坐标30分钟3.模与方向余弦的坐标表示35分钟重点难点1.投影定理2.分向量3.方向余弦的坐标表示教学方法和手段启发式教学法,使用电子教案一、向量在轴上的投影1.几个概念(1)轴上有向线段的值:设有一轴,是轴上的有向线段,如果数满足,且当与轴同向时是正的,当与轴反向时是负的,那么数叫做轴上有向线段的值,\n记做AB,即。设e是与轴同方向的单位向量,则(2)设A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有(3)两向量夹角的概念:设有两个非零向量和b,任取空间一点O,作,,规定不超过的称为向量和b的夹角,记为(4)空间一点A在轴上的投影:通过点A作轴的垂直平面,该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。(5)向量在轴上的投影:设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和,那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影,记做。2.投影定理性质1:向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即\n二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系。设a=是以为起点、为终点的向量,i、j、k分别表示图7-5沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图7-5,并应用向量的加法规则知:i+j+k或a=axi+ayj+azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应,向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标,并记为a={ax,ay,az}。上式叫做向量a的坐标表示式。于是,起点为终点为\n的向量可以表示为特别地,点对于原点O的向径注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az,向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2.向量运算的坐标表示设,即,则(1)加法:◆减法:◆乘数:◆或\n◆平行:若a≠0时,向量相当于,即也相当于向量的对应坐标成比例即三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设,可以用它与三个坐标轴的夹角(均大于等于0,小于等于)来表示它的方向,称为非零向量a的方向角,见图7-6,其余弦表示形式称为方向余弦。图7-61.模2.方向余弦由性质1知,当时,有\n◆任意向量的方向余弦有性质:◆与非零向量a同方向的单位向量为:1.例子:已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0),计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。解:={1-2,3-2,0-}={-1,1,-},,,,设为与同向的单位向量,由于即得 查看更多

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