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第2章对称图形--圆2.2圆的对称性2课件(苏科版九上)

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2.2圆的对称性(2)\n问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?【导入新课】\n问题:任意画一个圆及它的一条直径,沿着所画直径的直线折叠,你又发现了什么?圆是轴对称形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.【讲授新课】\n做一做:剪一个圆形纸片,在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P,再将纸片沿着直径CD对着,比较AP与PB,AC与CB,你能发现什么结论?⌒⌒·OABDP\n线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AP与BP重合,AC和BC,AD与BD重合.⌒⌒⌒⌒·OABDPC想一想:能不能用所学过的知识证明你的结论?\n·OABDCP试一试已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD,垂足为P.求证:AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD,∴AP=BP.又∵CP=CP,∴Rt△APC≌Rt△BPC,∴AC=BC,⌒⌒∴AC=BC.(同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的弧相等)⌒⌒AD=BD.由此易得\n垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.∵CD是直径,CD⊥AB,∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.归纳总结推导格式:\n下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?是不是,因为没有垂直是不是,因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE议一议\n垂径定理的几个基本图形:ABOCDEABOEDABODCABOC\n·OABDCP1.已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦(不是直径),与CD交于点P,且P是AB的中点.求证:AB⊥CD,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.试一试证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点,∴AB⊥CD.即AP=BP,∵CD是直径,CD⊥AB,∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.(垂径定理)\n·OABDCP2.已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦,求证:CD垂直平分AB.⌒⌒AC=BC,证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.⌒⌒AC=BC,∵∴AC=AB.(在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的弦相等.)∵OC=OC,∴△AOC≌△BOC,∴∠AOC=∠BOC,即OC是∠AOB的角平分线.∴CD垂直平分AB.\n思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例.一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”)垂径定理的推论·OABCD特别说明:圆的两条直径是互相平分的.\n例1如图,OE⊥AB于E,若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.·OABE解析:连接OA,∵OE⊥AB,∴AB=2AE=16cm.16∴cm.【例题讲解】\n例2如图,☉O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC=2cm,求半径OC的长.·OABECD解:连接OA,∵CE⊥AB于D,∴设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得解得x=5,即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2,\n你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试\nABOCD解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.\n解得R≈27.3(m).即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2∵\n如图a、b,一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为________.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练\n在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题时,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC·\n1.已知☉O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为.5cm2.☉O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.103cm3.(分类讨论题)已知☉O的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.14cm或2cm【练习】\n4.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理,得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.\n拓展提升:如图,☉O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点,那么OP长的取值范围.3cm≤OP≤5cmBAOP\n垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”)垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.两条辅助线:连半径,作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形【小结】 查看更多

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