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高中数学人教A版必修一第二章2.3幂函数教学设计

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2.3幂函数教学目的:1.通过实例,了解幂函数的概念.2.具体结合函数的图象,了解幂函数的变化情况.3.在归纳五个幂函数的基本性质时,应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法,对研究这些函数的思路作出指导.教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质.教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难.一、新课导入先看五个具体的问题:(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数;(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积,这里是的函数;(3)如果立方体的边长为a,求立方体的体积,这里是a的函数;(4)如果一个正方形场地的面积为,那么这个正方形的边长,这里是的函数;(5)如果某人s内骑车进行了1km,那么他骑车的平均速度km/s,这里是的函数.讨论:以上五个问题中的函数具有什么共同特征?它们具有的共同特征:幂的底数是自变量,指数是常数.从上述函数中,我们观察到,它们都是形如的函数.二、师生互动,新课讲解:1、幂函数的定义一般地,函数叫做幂函数(powerfunction),其中是自变量,是常数.对于幂函数,我们只讨论时的情形.2、幂函数的图象在同一直角坐标系内作出幂函数;;;;的图象.\n观察以上函数的图象的特征,归纳出幂函数的性质.定义域RRR值域RR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增公共点(1,1)3、幂函数的性质1).五个具体的幂函数的性质(1)函数;;;和的图象都通过点(1,1);(2)函数;;是奇函数,函数是偶函数;(3)在区间上,函数,,和是增函数,函数是减函数;(4)在第一象限内,函数的图象向上与轴无限接近,向右与轴无限接近.2).一般的幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数;>1时,图象向上,靠近y轴;0<<1,图景向上,靠近x轴;=1是条直线。(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴;(4)幂函数的图象,在第一象限内,直线的右侧,图象由下至上,指数由小到大;轴和直线之间,图象由上至下,指数由小到大.课堂练习:已知幂函数在第一象限内的图象如图所示,且分别取四个值,则相应于曲线的的值依次为.\n例1:(课本第78页例1)证明幂函数在上是增函数.变式训练1:利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小:(1),;(2),;(3),;(4),.例2:求下列函数的定义域,并判断它们的奇偶性:(1);(2);(3);(4)解(1)函数的定义域是,它是奇函数;(2)函数即,其定义域是,它是偶函数;(3)函数即,其定义域是,它既不是奇函数,也不是偶函数;(4)函数即,其定义域是,它是奇函数.变式训练2:(1).设,则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为(A).(A),(B),(C),(D),,(2).若函数,则函数在其定义域上是(B).(A)单调递减的偶函数(B)单调递减的奇函数(C)单调递增的偶函数(D)单调递增的奇函数(3)若幂函数f(x)的图象经过点(3,),则其定义域为(  )A.{x|x∈R,x>0}    B.{x|x∈R,x<0}C.{x|x∈R,且x≠0}D.R解析:设f(x)=xα.∵图象过点(3,),∴=3α,即3-2=3a,∴α=-2,即f(x)=x-2=,∴x2≠0,即x≠0.答案:C例3:在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。变式训练3:已知幂函数f(x)=(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则实数m=________.解析:∵幂函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数,∴m2-2m-3<0,∴-1<m<3,又m∈N*,∴m=1或2,当m=1时,f(x)=x-4,其图象关于y轴对称,符合;当m=2时,f(x)=x-3是奇函数,不符合,∴m=1.\n答案:1布置作业:A组:1.下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(  )解析:注意到函数y=x2≥0,且该函数是偶函数,其图象关于y轴对称,结合选项知,该函数图象应与②对应;y==的定义域、值域都是[0,+∞),结合选项知,该函数图象应与③对应;y=x-1=,结合选项知,其图象应与④对应;图象①与y=x3大致对应.综上述所述,选B.答案:B2.已知n∈{-1,0,1,2,3},若(-)n>(-)n,则n=__________.解析:可以逐一进行检验,也可利用幂函数的单调性求解.答案:-1或23.(课本P79习题2.3NO:1)已知幂函数的图象过点,试求出这个函数的解析式.4.(课本P79习题2.3NO:2)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率v(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.(1)写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式;(2)若气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400cm3/s,求该气体通过半径为r的管道时,其流量速率v的表达式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率(精确到1cm3/s).5.讨论函数的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说出函数的单调性.6.已知函数f(x)=-xm,且f(4)=-.(1)求m的值;\n(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.解:(1)∵f(4)=-,∴-4m=-.∴m=1.(2)f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减,证明如下:任取0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(-x1)-(-x2)=(x2-x1)(+1).∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,+1>0.∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),即f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减.B组:1.如果幂函数f(x)=(p∈Z)是偶函数.且在(0,+∞)上是增函数.求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.解析:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴-p2+p+>0,即p2-2p-3<0.∴-1<p<3,又∵f(x)是偶函数且p∈Z.∴p=1,故f(x)=x2. 查看更多

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