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第13章三角形中的边角关系、命题与证明小结与复习\n①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角;④相邻两边的公共端点是三角形的顶点，⑤三角形ABC用符号表示为△ABC，⑥三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．ABC要点梳理一、三角形的相关概念\n注意：1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.3.三角形第三边的取值范围是:两边之差<第三边<两边之和三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边.二、三角形的三边关系\n注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部.③三角形三条高所在直线交于一点．1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：①AD是△ABC的边BC上的高；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.三、三角形的高、中线、角平分线：\n注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段．表示法：①AD是△ABC的边BC上的中线；②BD=DC=BC.\n注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.表示法：①AD是△ABC中∠BAC的平分线.②∠1=∠2=∠BAC.12\n注意：①命题有真命题和假命题两种.对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题.②命题由题设和结论两部分组成.前一部分称之为条件，后一部分称之为结论.③命题通常是用“如果······那么······”的形式给出.④“如果p,那么q”中的题设与结论互换，得一个新命题：“如果q,那么p”这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做逆命题.四、命题与证明\n⑤当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题.⑥符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例.要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.\n三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．(2)从剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=180º(1)从折叠可以看出：∠A+∠B+∠C=180º(3)由推理证明可知：∠A+∠B+∠C=180º2.三角形内角和定理及推论\n三角形的外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与内角的关系：2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；4.三角形的外角和为360°.\n考点一三角形的三边关系例1已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8-3<a<8+3,∴5<a<11.又∵第三边长为奇数,∴第三条边长为7cm或9cm.考点讲练【分析】根据三角形的三边关系满足8-3<a<8+3解答即可.\n三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.方法总结\n1.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是()A．1，2，3B．2，5，8C．3，4，5D．4，5，102.在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm,则它的周长为________.C针对训练19cm3.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是.6<x<12\n考点二三角形内角和定理及推论例2下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A=2∠B=3∠CB．∠A+∠B=2∠CC．∠A=∠B=30°D．∠A= ∠B= ∠C【分析】根据“三角形内角和定理和为180°”求出各选项中△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．【答案】故选D．D\n三角形内角和定理：三角形内角和是180°．其推论为直角三角形两锐角互补及有两个角的和为90°的三角形是直角三角形．已知三角形中的三角形之间关系，可运用方程思想来求各角的度数.方法总结针对训练4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数为_____.30°\n解：设∠B=x°，则∠A=3x°，∠C=4x°，从而x+3x+4x=180º，解得x=22.5°．即∠B=22.5°，∠A=67.5°，∠C=90°．△ABC中，∠B=∠A=∠C，求△ABC的三个内角度数.\n考点三三角形的角平分线、中线和高例3下列说法错误的是（）A.三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积B.直角三角形的高线只有一条C.三角形的三条角平分线都在三角形内D.钝角三角形内只有一条高线B【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一进行判断.【答案】B\n三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或延长线)分别相交于一点，其中中线平分三角形面积，直角三角形由两条高线在边上，钝角三角形由两条三角形在三角形外面.方法总结针对训练6.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的差为（）ABCD12cmB.6cmC.3cmD.2cmB\n7.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O．（1）若∠A=80°，则∠BOC=．（2）你能猜想出∠BOC与∠A之间的数量关系吗？130°∠BOC=90°+∠AABCOED\n例4分别写出下列命题的条件及结论，并判断真假，是假命题的举出反例.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a＞c；（3）三角形的中线平分该三角形的面积.考点四命题与证明【分析】先把各个命题写成“如果……那么……”的形式，方便找出结论与结果.\n解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.假命题，反例：两个角也有可能是两条平行线的同位角或内错角；（2）条件：a＞b,b＞c，结论：a＞c.真命题；（3）条件：三角形的一条中线分三角形为两个小三角形，结论：这两个小三角形面积相等.真命题.方法总结说明假命题的方法：举反例使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.\n∵直线AB与直线CD相交于点O，()8.如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.证明：∴∠AOB与∠COD都是平角，()已知平角的定义∴∠AOC＋∠AOD＝180°，补角的定义∴∠AOC=∠BOD.()同角的补角相等∠BOD＋∠AOD＝180°，()针对训练\n例5如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC.ABCD证明：如图，作射线BD.E））））1234根据三角形外角的性质，则有∠3=∠1+∠A①；∠4=∠2+∠C②.由①+②得∠3+∠4=∠1+∠A+∠2+∠C，故∠A+∠B+∠C=∠ADC得证.考点五三角形的外角【分析】作射线BD.通过三角形外角的性质进行转化即可求证.\nABCDABCD其他证法:如下图E证法二证法三这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间的数量关系，即∠A+∠B+∠C=∠ADC.运用这一结论，能提高我们解题的准确性和速度.方法总结\n9.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.证明：∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2.∵∠BAC＞∠1，∴∠BAC＞∠2.∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B.针对训练\n三角形角的关系课堂小结三角形按角分类直角三角形斜三角形三角形的内角和等于180°锐角三角形钝角三角形三角形内角和定理的证明及推论1、2三角形内角和定理的证明推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.\n三角形的外角外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.三角形的外角和等于360°.
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