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2.5等腰三角形的轴对称性（2）\n1.等腰三角形有哪些性质？2.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边的大小有什么关系？温故知新\n请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：1．在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC．2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．3．找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．问题1：AB与AC是否重合？问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？BCAD.【探索活动一】\n在△BAT和△CAT中，∠1＝∠2(角平分线定义)，∠B＝∠C(已知)，AT＝AT(公共边)，∴△BAT≌△CAT(AAS)，∴AB＝AC(全等三角形对应边相等)．已知：在△ABC中，∠B＝∠C求证：AB＝AC．证明：（1）作∠A的平分线交BC于T．ABCT（2）过A点作AD⊥BC，垂足为D．ABCD∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC，在△ADB和△ADC中，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ADB≌△ADC，∴AB＝AC．思考：通过这题的证明你发现了什么结论？12\n定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．符号语言∵∠B＝∠C∴AB＝AC(等角对等边)\n思考：“等边对等角”与“等角对等边”是否一样？它们的主要区别在哪里？【说一说】\n例题讲解已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.证明:作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.\n如图,DB=DC,∠ABD=∠ACD.求证:AB=AC.∴AB=AC.证明:连接BC,如图.∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB.又∵∠ABD=∠ACD,∴∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD,即∠ABC=∠ACB.\n思考1：什么是等边三角形？它与等腰三角形有什么区别与联系？思考2：等边三角形的性质有哪些？【探索活动二】等腰三角形等边三角形对称性轴对称图形(1条)边两腰相等角两底角相等特殊线三线合一(1条)轴对称图形(3条)三边相等三个角都等于60度三线合一(3条)\n等边三角形的概念及性质（1）三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形．（2）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴．（3）等边三角形的各角都等于60°．【归纳小结】\n如图所示,在等边△ABC中,D是AC边的中点,延长BC到点E,使CE=CD,连接DE,试判断△BDE的形状,并说明理由.解:△BDE是等腰三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形,D是AC边的中点,∴∠ABC=∠ACB=60°,∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°.又∵CE=CD,∴∠E=∠CDE.又∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠E=∠ACB=30°,∴∠DBC=∠E,∴BD=DE,∴△BDE是等腰三角形.\n思考3：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？为什么？【探索活动三】\n等边三角形的判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【归纳小结】\n如图,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN是等边三角形,AN交CM于点E,BM交CN于点F.求证:(1)CE=CF;(2)EF∥AB.\n证明:(1)∵△ACM,△CBN是等边三角形,∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°,∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN,即∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中,∴△ACN≌△MCB(SAS).∴∠ANC=∠MBC.在△ENC和△FBC中,∴△ENC≌△FBC(ASA).∴CE=CF.\n(2)由(1)知,CE=CF.∴△ECF为等腰三角形.又∵∠MCN=60°,∴△ECF为等边三角形.∴∠EFC=∠FCB=60°.∴EF∥AB.\n【练习】图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE.求证:BD=2CE.证明:延长CE交BA的延长线于点F,如图.∵CE⊥BE,∴∠BEC=∠BEF=90°.∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCE,∴BC=BF.∴CE=FE=CF,即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°,∠F+∠ACF=90°,∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE.\n如图,在△AB中,AB=AC,∠A=60°,BD⊥AC于D,E为BC的中点,DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证:E、C两点是线段BF的三等分点.\n证明:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°,BC=AC.∵BD⊥AC,∴CD=AC.∵E为BC中点,∴EC=BE=BC.∴CD=EC.又∵∠DCB=60°,∴△DEC是等边三角形,∠DEC=60°.∵DF⊥DE,∴∠F=30°.∴DE=EF=(EC+CF).又∵DE=CE,∴DE=EC=CF,∴BE=EC=CF.∴E、C两点是线段BF的三等分点.\n如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,E是AC延长线上的一点,且CE=CD,AD=DE.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)如果把AD改成△ABC的中线或高线,其余条件不变,请判断(1)中的结论是否依然成立?(只要求写出结论,不要求证明)\n解:(1)证明:∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∴∠ACB=2∠E.∵AD=DE,∴∠E=∠DAC.∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠DAC=2∠E,∴∠ACB=∠BAC,∴BA=BC.∵AB=AC,∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形.(2)解:当AD为△ABC的中线或高线时,结论依然成立.\n说说你本节课你有什么收获？【课堂小结】等腰三角形等边三角形对称性轴对称图形(1条)边两腰相等角两底角相等特殊线三线合一(1条)轴对称图形(3条)三边相等三个角都等于60度三线合一(3条)等边三角形的判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
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