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第13章全等三角形13.3等腰三角形第2课时\n1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.(重点)2.能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点)学习目标\n情境引入在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA\n等腰三角形的判定一提出问题我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？画画看，你发现了什么？\n在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，（角平分线的定义）∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C（已知），AD=AD（公共边），∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，∴△ABC是等腰三角形.画∠BAC的平分线交BC于点D.证明：CAB21D（（已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？\n等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．总结归纳等角对等边等边对等角∴AC=AB().即△ABC为等腰三角形.∵∠B=∠C(),已知等角对等边在△ABC中，应用格式：BCA((\n例1如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.求证：AB=AC.ABC证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），∠A=40°，∠B=70°（已知），∴∠C=180°-∠A-∠B（等式的性质），=180°-40°-70°=70°，∴∠C=∠B（等量代换），∴AB=AC.典例精析\n例2如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：AB=AC.证明：∵AB∥CD（已知）,∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）.又∵∠1=∠2,∴∠B=∠1（等量代换）.∴AB=AC（等角对等边）.12ABCD((\n一个三角形满足什么条件就是等边三角形?由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些定理吗？等边三角形的判定二\nABC三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC.∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.证明：判定1：\n判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形ABC已知：若AB=AC，∠A=60°.求证：AB=AC=BC.证明：∵AB=AC,∠A=60°.∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.12动动手若AB=AC，∠B=60°，求证AB=AC=BC.\n例3如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？\n变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∵∠A+∠ADE+∠AED=∠A+2∠ADE=3∠A=180°，∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.\n例4求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.求证：△ABC是等腰三角形.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC.证明：∵AD∥BC(已知)，∴∠1=∠B（两直线平行,同位角相等）∠2=∠C（两直线平行,内错角相等）∵AD平分∠CAE，∴∠1=∠2.∴∠B=∠C.∴△ABC是等腰三角形.ABCDE12\n∵∠ACB=∠A'C'B'=90°(已知），∴∠BC'B'=∠ACB+∠A'C'B'=180°，即点B、C'、B'在同一条直线上.在△A'B'B中，AB=A'B'（已知），∴∠B=∠B'（等角对等边）.在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'（已证），∠ACB=∠A'C'B'（已知），AC=A'C'（已知），∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（A.A.S.）.例5如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'，求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.AB'A'CBC'B证明：由于直角边AC=A'C'，我们移动Rt△ABC使点A与点A'重合，点C和点C'重合，且使点B和点B'分别位于A'C'两侧.（A）（C）这样我们就证明了前面给出的H.L.判定定理\n当堂练习1.在△ABC中,已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么?△ABC是等腰三角形,因为∠B=65°,∠A=50°,所以∠C=65°,∠B=∠C=65°,所以△ABC是等腰三角形.2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.36°72°△ABC△DBA△BCDABCD((12\n3.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.94.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个DACBDEO\nBCDAE5.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA=60°.∵BD是AC边上的中线，∴∠BDA=90°,∠DBA=30°.∵BD=BE，∴∠BDE=(180°-∠DBA)÷2=(180°-30°)÷2=75°.∴∠EDA=90°-∠BDE=90°-75°=15°.\n6.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A，O，D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°，∴△COA≌△DOB(S.A.S.).∴∠DBO=∠CAO.设OB与EA相交于点F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F\n等腰三角形等腰三角形的判定：等角对等边.课堂小结等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
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