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第12章整式的乘除12.5因式分解第2课时\n认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分解因式．（重点）（难点）学习目标\n复习引入1.什么叫多项式的因式分解?把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？1.a(x+y)=ax+ay2.ax+ay=a(x+y)整式乘法因式分解它们是互为方向相反的变形\n正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(a+b+c)pa+pb+pcp=\n还记得前面学过的乘法公式吗？平方差公式：两数和（差）的平方公式：\n运用平方差公式因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式.))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：\n√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.两数是平方，减号在中央．（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)\n例1分解因式：aabb(+)(-)a2-b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式整体思想ab典例精析\n例2分解因式：…………一提（公因式）……二套（公式）三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）分解因式的一般步骤\n运用完全平方公式因式分解二完全平方公式:完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.=（a±b）2凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.a22abb2±.+.=(a±b)²\n3、a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2、m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²1、x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？mm-3a22abb2±.+.（a±b)²=3x2m3利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.\n下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4;（2）1+4a²;（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.a22abb2±.+.\n例3分解因式：（1）16x2+24x+9；分析：在（1）中，16x2=(4x)2,24x=2·4x·3,9=3²,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2；(首)²+2·首·尾+(尾)²（2）-x2+4xy-4y2.(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.\n例4把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；解:(1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；（2）（a+b)2-12(a+b)+36.(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.\n例5把下列完全平方公式分解因式：1002－2×100×99+99²解：原式=（100－99)²=1.本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.\n当堂练习1.把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2(2)(a+b)2-(a-b)2(3)9xy3-36x3y(4)-a4+16(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)2.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36;（2）4a2-4a+1.解：(1)原式=x2－2·x·6+（6）2=（x－6）2;(2)原式=（2a）²－2·2a·1+（1）²=（2a－1）2.\n3.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是（）A.6B.12C.－12D.±12D解：原式4.计算：5.分解因式：解：原式\n课堂小结公式法因式分解公式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
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