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湘教版(2022)九年级数学上册教案:3.4.2第1课时 相似三角形中三条重要线段的性质

资料简介

3.4.2相似三角形的性质第1课时相似三角形中三条重要线段的性质【知识与技能】理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系.【过程与方法】对性质定理的探究,学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.【情感态度】在学习和探讨的过程中,体验从特殊到一般的认知规律.【教学重点】相似三角形性质的应用.【教学难点】相似三角形性质的应用.一、情境导入,初步认识1.什么叫相似三角形?相似比指的是什么?2.全等三角形是相似三角形吗?全等三角形的相似比是多少?3.相似三角形的判定方法有哪些?【教学说明】复习相关知识,为本节课的学习做准备.二、思考探究,获取新知1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质?【归纳结论】相似三角形的基本性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.2.如图,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中,AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么,AD和A′D′之间有什么关系?\n证明:∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′,又∵AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,∴△ABD∽△A′B′D′,∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.你能得到什么结论?【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.3.如图,△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形,相似比为k,求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比.解:∵△A′B′C′∽△ABC,∴∠B′=∠B,∠A′B′C′=∠ABC,∵A′D′,AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线,∴∠B′A′D′=∠BAD,∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似)∴根据上面的探究,你能得到什么结论?【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.4.在上图中,如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线,那么,AD和A′D′之间有什么关系?你能证明你的结论吗?【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.\n三、运用新知,深化理解1.见教材P86例9.2.已知△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′是它们的对应中线,且,B′D′=4,则BD的长为________.分析:因为△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′是它们的对应中线,根据对应中线的比等于相似比,【答案】63.如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.(1)则图中有几对相似三角形;(2)若AD=9cm,CD=6cm,求BD;(3)若AB=25cm,BC=15cm,求BD.解:(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.在△ADC和△ACB中,∠ADC=∠ACB=90°,∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB,同理可知,△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.(2)∵△ACD∽△CBD,∴,即,∴BD=4(cm).(3)∵△CBD∽△ABC,∴.∴,∴=9(cm).4.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.(1)证明:∵在梯形ABCD中,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,∴△CDF∽△BGF.\n(2)由(1)知△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,∴BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=FG,CD=BG.又∵EF∥CD,AB∥CD,∴EF∥AG,得2EF=AB+BG.∴BG=2EF-AB=2×4-6=2,∴CD=BG=2cm.5.(1)已知,且3x+4z-2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3∶10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.分析:(1)用同一个字母k表示出x,y,z.再根据已知条件列方程求得k的值,从而进行求解;(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比,求得周长比,再根据周长差进行求解.解:(1)设,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z-2y=40,∴6k+20k-6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm.【教学说明】通过例题的拓展延伸,体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯,提高分析问题和解决问题的能力.四、师生互动,课堂小结\n先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题3.4”中第7题.本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理,并进行初步运用,让学生经历相似三角形性质探索的过程,提高数学思考、分析和探究活动的能力,体会相似三角形中的变量与不变量,体会其中蕴涵的数学思想. 查看更多

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