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湘教·九年级上册2.3一元二次方程根的判别式\n回顾总结同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？配方法公式法因式分解法\n新课探究我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么?\n将方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到由于a≠0，所以4a2>0，因此我们不难发现:(1)当b2-4ac>0时，由于正数有两个平方根，所以原方程的根为此时，原方程有两个不相等的实数根.\n将方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到由于a≠0，所以4a2>0，因此我们不难发现:(2)当b2-4ac=0时，由于0的平方根为0，所以原方程的根为此时，原方程有两个相等的实数根.\n将方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到由于a≠0，所以4a2>0，因此我们不难发现:(3)当b2-4ac<0时，由于负数在实数范围内没有平方根,所以原方程没有实数根.\n我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ=b2-4ac.\n综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由Δ=b2-4ac来判断:当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根，其根为当Δ<0时，原方程没有实数根.\n例不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:(1)3x2+4x-3=0;(2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).解：(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×(-3)=16+36=52>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.\n例不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:(1)3x2+4x-3=0;(2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).解：(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×(-3)=16+36=52>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.(2)将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=0.因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=144-144=0,所以，原方程有两个相等的实数根.\n例不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:(1)3x2+4x-3=0;(2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).(3)将原方程化为一般形式，得5y2-7y+5=0.因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-100=-51<0,所以，原方程没有实数根.\n课堂练习练习1.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况为()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)只有一个实数根(D)没有实数根因为Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×1=1-4=-3<0,x2-x+1=0所以，原方程没有实数根.D\n2.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:解：(1)因为Δ=b2-4ac=32-4×1×(-1)=9+4=13>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.\n2.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:解：(2)因为Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=36-36=0，所以，原方程有两个相等的实数根.\n2.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:解：(3)因为Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×4=9-32=-23<0，所以，原方程没有实数根.\n2.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:解：(4)将原方程化为一般形式，得所以，原方程有两个相等的实数根.\n3.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)．解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2\n4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．(1)求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．解：(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5；\n4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．(1)求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．(2)证明：令x2+px+q=0．则Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4＞0，即Δ＞0，所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．\n课堂小结一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由Δ=b2-4ac来判断:当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根，其根为当Δ<0时，原方程没有实数根.\n1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.课后作业
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