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华东师大版·八年级上册2.定理与证明\n新课导入问题1：什么是命题？命题的结构是什么？定义：判断一件事情的语句.构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成.命题常写成“如果……那么……”的形式.问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？真命题和假命题举反例\n探究新知（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.回忆一下，我们学过哪些真命题？这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.\n基本事实：公认的真命题视为基本事实.它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．定理：数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．\n1.下列命题中属于基本事实的是（）A.内错角相等，两直线平行B.三角形的外角和等于360°C.两点确定一条直线D.直角三角形两锐角互余试一试C\n2.下列命题是定理的是（）A.两点之间，线段最短B.两直线平行，内错角相等C.两点确定一条直线D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B\n基本事实、定理、真命题之间的联系与区别：命题真命题定理从基本事实或其他真命题出发可以作为进一步判断其他命题真假的依据基本事实与定理的联系与区别：定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据，它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.\n思考（1）一位同学在钻研数学题时发现:于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.他的结论正确吗？2+1=3，2×3+1=7，2×3×5+1=31，2×3×5×7+1=211计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？\n（2）如图所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？\n（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论:n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？实际上，这是一个正确的结论.上面几个例子说明:通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.\n根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．证明：证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．证明的依据：\n已知:如图，在△ABC中，∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°.直角三角形的两个锐角互余.证明:∠A＋∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，又∵∠C=90°(已知)，∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质).\n证明的一般步骤是：①审清题意，找出命题中的条件和结论;②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形;③用数学语言写出“已知”“求证”;④找出证明思路;⑤写出证明过程，每一步都要有理有据;⑥检查表达过程是否正确、完整．\n求证:平行线的内错角的平分线互相平行．解:已知:如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，EM平分∠BEF，FN平分∠EFC．求证:EM∥FN．证明:∵AB∥CD(已知)，∴∠BEF＝∠CFE(两直线平行，内错角相等)．∵EM平分∠BEF，FN平分∠EFC(已知)，∴∠2＝∠BEF，∠1＝∠CFE(角平分线的定义)．∴∠1＝∠2(等量代换)．∴EM∥FN(内错角相等，两直线平行)．\n把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明题（1）所示的定理:（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）三角形的外角和等于360°.练习\n解:（1）如果同旁内角互补，那么两条直线平行．条件是“同旁内角互补”，结论是“两条直线平行”．已知:如图，直线AB、CD和直线EF交于点G、H，∠BGH＋∠GHD＝180°，求证:AB∥CD．证明:∵∠BGH＋∠GHD＝180°，∠1＋∠BGH＝180°,∴∠1＝∠GHD(等角的补角相等)，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)（1）同旁内角互补，两直线平行；\n（2）三角形的外角和等于360°.已知:如图，△ABC中，∠DAC，∠EBA，∠BCF为△ABC的外角．求证:∠DAC＋∠EBA＋∠BCF＝360°．证明:由题意，可得∠BAC＋∠CAD＝180°，∠ABC＋∠EBA＝180°，∠BCA＋∠BCF＝180°，∴∠BAC＋∠CAD＋∠ABC＋∠EBA＋∠BCA＋∠BCF＝540°．由三角形内角和定理知∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠DAC＋∠EBA＋∠FCB＝540°－180°＝360°．即三角形外角和等于360°．\n习题13.1判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明:（1）两个锐角的和等于直角;（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.解:（1）假命题，例:50°和20°是两锐角，但50°＋20°＝70°≠90°．（2）假命题，例:如图，直线AB、CD被EF所截，但AB不平行于CD，此时，∠EMB≠∠END．\n2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式:（1）全等三角形的对应角相等;（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.解:（1）如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．（2）如果一个等腰三角形有一个角等于60°，那么它是等边三角形．\n3.如图，已知AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为点E、F，直线PQ分别交AB、CD于点S、T.求证:∠AST=∠STD.对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.证明AB⊥MN，CD⊥MN(已知)，∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，____________________________________________________________________________________________________________________________∵AB和CD被PQ所截,∴∠AST＝∠STD(两直线平行,内错角相等)．\n课堂小结定理与证明基本事实定理定义常见的几条基本事实证明定义与基本事实的区别定义证明的一般步骤\n课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
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